概率論第三章部分習(xí)題解答(已修改)
2025-05-11 12:05 本頁面
【正文】 1 定義 1： 設(shè) X是一離散型隨機變量，其分布列為： 則隨機變量 X 的 數(shù)學(xué)期望 為 : X 1x)( 1xp2x)( ixpix? ?? ?)( 2xpP? ?,xf設(shè) X是一連續(xù)型隨機變量，其分布密度為 則隨機變量 X的 數(shù)學(xué)期望 為 一、一維隨機變量的數(shù)學(xué)期望 ? ? ? ???iii xpxXE ii? ? ? ?dxxxfXE ? ?????定義 2： 第三章 隨機變量的數(shù)字特征 （一）基本內(nèi)容 2 （ 1）設(shè)二維離散隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)為 p(xi , yj)， 則 隨機變量 X及 Y 的數(shù)學(xué)期望分別定義如下： ? ? ? ? ,? ??i jjii yxpxXE ? ? ? ? .,? ??j ijij yxpyYE? ? ? ? ,??iiXi xpxXE ? ? ? ? .??jjYj ypyYE（ 2）設(shè)二維連續(xù)隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x, y)， 則 隨機變量 X及 Y 的數(shù)學(xué)期望分別定義如下： ? ? ? ?? ????? ????? , d x d yyxxfXE ? ? ? ?? ????? ????? ., d x d yyxyfYE即： ? ? ? ?? ????? ,dxxxfXE X ? ? ? ?? ????? .dyyyfYE Y假定級數(shù)是絕對收斂的 . 假定積分是絕對收斂的 . 二、二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望 即： 3 ? ? ? ? ? ????iii xpxgXEgEY則定義隨機變量函數(shù) 的 數(shù)學(xué)期望 為： ? ?XgY ?X 1x)( 1xp2x nx? ?? ?)( ixXP ? )( nxp)( 2xp（ 1）設(shè) 離散型隨機變量 X 的概率分布為： 三、一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ? ? ? ? ? ? dxxfxgXEgEY ? ??????機變量函數(shù) 的數(shù)學(xué)期望為： ? ?XgY ?則定義隨 （ 2）若 X為連續(xù)型隨機變量 ， ? ?,xf其概率密度為 4 （ 1）設(shè)二維離散隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)為 p(xi , yj)， 則 隨機變量函數(shù) g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望如下： ? ?? ? ? ? ? ? , ? ??i jjiji yxpyxgYXgE（ 2）設(shè)二維連續(xù)隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x, y)， 則 隨機變量 g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望如下： ? ?? ? ? ? ? ?? ????? ????? , d x d yyxfyxgYXgE假定這個級數(shù)是絕對收斂的 . 假定這個積分是絕對收斂的 . 四、二維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 5 五、關(guān)于數(shù)學(xué)期望的定理 定理 1 ? ? b E XabXaE ???aEa ? ? ? EXaXaE ???? ? b E XbXE ?推論 （ 1） （ 2） （ 3） 定理 2 推論： .11????????????? niinii EXXE? ? ? ? ? ?YEXEYXE ???定理 3 若 X、 Y 獨立，則有 ： 推論 .11????????????? niinii EXXE相互獨立，則若 nXXX , 21 ?? ? ? ? ? ?YEXEXYE ?6 定義 X 的 標準差 ： ? ? 2EXXEDX ??DXX ??定義 X 的 方差： 若 X 為 離散型隨機變量 ， 則有 ? ? ? ??????12iii pEXxXD若 X 為 連續(xù)型隨機變量 ， 則有 ? ? ? ?? ???? ?? dxxfEXxXD )(2? ? ? ?? ? 22 XEXEDX ??方差的計算公式 : 。0?Db ? ? 。DXbXD ?? .)( 2 DXaaXD ?? ? DXabaXD 2??定理 1 推論： 有關(guān)方差的定理： 六、方差與標準差 7 定理 2： ? ? DYDXYXD ???若 X與 Y 獨立， 推論： ? ?????????????? niinii XDXD11七、某些常用分布的數(shù)學(xué)期望及方差 二項分布： ,pEX ? pqDX ?0 1分布： ,npEX ? n p qDX ?,??EX ??DX 幾何分布 : 2pqDX ?,1pEX ?12)( 2abDX ??,2baEX ??均勻分布 : ,1??EX 21??DX指數(shù)分布 : Poisson分布 8 ? ? ? ?.,2 jii jj yxpEYy? ? ??? ? ? ?,2 jii ji yxpEXx? ? ??? ? ? ?? ??jjYi ypEYy2? ?XD ? ? ? ?iXii xpEXx? ??2? ?YD二維隨機變量的方差 ： ? ? ? ?? ????? ???? ?? ,2 d x d yyxfEXx? ? ? ?? ????? ???? ?? .,2 dxdyyxfEYy? ? ? ?? ???? ?? dyyfEYyDY Y2? ? ? ?? ???? ?? dxxfEXxDX X2連續(xù)型隨機變量 ? ?,YX離散型隨機變量 ? ?,YX9 ? ? ? ?kk XEX ??EX?1?? ? ? ?? ?? ?kk XEXEX ???隨機變量 X 的 k 階原點矩： 定義 1： 定義 2： X 的 k 階中心矩 ： 。01 ?? DX?2?對于離散隨機變量： ??i ikik xpxX )()(?對于連續(xù)隨機變量： ? ????? dxxfxXkk )()(?對于離散隨機變量： 對于連續(xù)隨機變量： ? ??iikik xpXExX )()]([)(?? ? dxxfXExX kk )()()( ? ???? ???其中 k為正整數(shù)。特別的， 特別的， 八、原點矩與中心矩 10 )]}.()][({[),c o v ( YEYXEXEYX ???? ? ? ?? ? ? ?? ????? ???? ??? .,c o v d x d yyxfEYyEXxYX⑴ 離散型隨機變量： ⑵ 連續(xù)型隨機變量： X與 Y 的協(xié)方差（或 相關(guān)矩 ）： 定義 注 ? ? ? ?? ? ? ?.,co v ? ? ???i jjiji yxpEYyEXxYX九、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 定理 1 )()()(),cov( YEXEXYEYX ??定理 2 若 X與 Y 獨立，則： ? ? .0,c o v ?YX注 設(shè) X與 Y是任兩個隨機變量， ),cov(2)()()( YXYDXDYXD ????逆命題不成立。 11 ),(c o v),( ??? YXYXR)()(),(c o v),(YDXDYXYXR ? X與 Y 的相關(guān)系數(shù) 定義 定理 3 ? ? 1, ?YXR,bXaY ??且 ???????.0,1。0,1),(bbYXR定理 4 1),( ?YXR定理 5 如果 X 與 Y 獨立，則 ,0),( ?YXR 反之不成立。 即 : X 與 Y相互 獨立 X與 Y 不相關(guān) 12 十、切比雪夫不等式與大數(shù)定律 切比雪夫不等式 ? ?2)()(?????XDXEXP切比雪夫大數(shù)定律 1)(11lim11????????? ??? ??????niiniin XEnXnP伯努利大數(shù)定律 辛欽大數(shù)定律 若方差一致有上界 11lim1????????? ????????niin XnP獨立同分布 在獨立試驗序列中，事件 A 的頻率按概率收斂于事件 A 的概率 . ? ? 1 )( l i n ?????? PAWP nn13 解 設(shè)隨機變量 X表示在取得合格品之前已取得的廢品數(shù) , 則 .3,2,1,0?X? ? ?? 0XP 。43129 ? ? ? ?? 1XP119123 ? 。449?? ? ?? 2XP109112123 ?? 。2209?
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