【正文】 第十章 統(tǒng)計(jì)回歸模型 牙膏的銷售量 軟件開發(fā)人員的薪金 酶促反應(yīng) 投資額與國民生產(chǎn)總值和物價(jià)指數(shù) 教學(xué)評估 冠心病與年齡 回歸模型 是用統(tǒng)計(jì)分析方法建立的最常用的一類模型 . 數(shù)學(xué)建模的基本方法 機(jī)理分析 測試分析 通過對數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計(jì)分析 ，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型 . ? 不涉及回歸分析的數(shù)學(xué)原理和方法 . ? 通過 實(shí)例 討論如何選擇不同類型的模型 . ? 對軟件得到的結(jié)果進(jìn)行 分析 ，對模型進(jìn)行 改進(jìn) . 由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜及人們認(rèn)識程度的限制 ,無法分析實(shí)際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型 . 牙膏的銷售量 問題 建立 牙膏銷售量與價(jià)格、廣告投入之間的 模型 。 預(yù)測 在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的牙膏 銷售量 . 收集了 30個銷售周期本公司牙膏銷售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用，及同期其他廠家同類牙膏的平均售價(jià) . 30 29 ? ? ? ? ? ? 2 1 銷售量 (百萬支 ) 價(jià)格差 （元） 廣告費(fèi)用 (百萬元 ) 其他廠家價(jià)格 (元 ) 本公司價(jià)格 (元 ) 銷售周期 基本模型 y ~公司牙膏銷售量 x1~其他廠家與本公司 價(jià)格差 x2~公司廣告費(fèi)用 ??? ??? 110 xy???? ???? 222210 xxy5 5 . 5 6 6 . 5 7 7 . 577 . 588 . 599 . 510x2 y 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 677 . 588 . 599 . 510x1 y ????? ????? 22322110 xxxyx1, x2~解釋變量 (回歸變量 , 自變量 ) y~被解釋變量（因變量） ?0, ?1 , ?2 , ?3 ~回歸系數(shù) ?~隨機(jī) 誤差（ 均值為零的正態(tài)分布隨機(jī)變量） MATLAB 統(tǒng)計(jì)工具箱 模型求解 [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha) 輸入 x= ~n?4數(shù)據(jù)矩陣 , 第 1列為全 1向量 ]1[ 2221 xxxalpha(置信 水平 ,) ????? ????? 22322110 xxxyb~?的 估計(jì)值 bint~b的置信區(qū)間 r ~殘差向量 yxb rint~r的置信區(qū)間 Stats~ 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 R2,F, p,s2 y~n維數(shù)據(jù)向量 輸出 由數(shù)據(jù) y,x1,x2估計(jì) ? 參數(shù) 參數(shù)估計(jì)值 置信區(qū)間 [ ] [ ] [ ] [ ] R2= F= p s2= ?0 ?1 ?2 ?3 結(jié)果分析 y的 %可由模型確定 參數(shù) 參數(shù)估計(jì)值 置信區(qū)間 [ ] [ ] [ ] [ ] R2= F= p s2= ?0 ?1 ?2 ?3 ????? ????? 22322110 xxxyF遠(yuǎn)超過 F檢驗(yàn)的臨界值 p遠(yuǎn)小于 ?= ?2的置信區(qū)間包含零點(diǎn)(右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近 ) x2對因變量 y 的影響不太顯著 x22項(xiàng)顯著 可將 x2保留在模型中 模型從整體上看成立 22322110 ????? xxxy ???? ????銷售量預(yù)測 價(jià)格差 x1=其他廠家 價(jià)格 x3本公司 價(jià)格 x4 估計(jì) x3 調(diào)整 x4 控制價(jià)格差 x1=，投入廣告費(fèi) x2= 銷售量預(yù)測區(qū)間為 [， ]（置信度 95%） 上限用作庫存管理的目標(biāo)值 下限用來把握公司的現(xiàn)金流 若估計(jì) x3=，設(shè)定 x4=，則可以 95%的把握知道銷售額在 ?? 29（百萬元）以上 控制 x1 通過 x1, x2預(yù)測 y 2 9 3 22322110 ????? xxxy ???? (百萬支 ) 模型改進(jìn) x1和 x2對 y的 影響?yīng)毩? ????? ????? 22322110 xxxy?????? ?????? 21422322110 xxxxxy參數(shù) 參數(shù)估計(jì)值 置信區(qū)間 [ ] [ ] [ ] [ ] R2= F= p s2= ?0 ?1 ?2 ?3 參數(shù) 參數(shù)估計(jì)值 置信區(qū)間 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] R2= F= p s2= ?3 ?0 ?1 ?2 ?4 x1和 x2對 y的影響有交互作用 兩模型銷售量預(yù)測 比較 21422322110 ????? xxxxxy ????? ?????22322110 ????? xxxy ???? ????預(yù)測區(qū)間 [， ] 預(yù)測區(qū)間 [， ] 控制價(jià)格差 x1=，投入廣告費(fèi) x2= 預(yù)測區(qū)間長度更短 略有增加 y?2 9 3 ?y預(yù)測值 3 2 7 ?y預(yù)測值 x2= x1= 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 67 . 588 . 59x1 y? 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 67 . 588 . 59x1 y?5 6 7 87 . 588 . 599 . 510x2 y?5 6 7 888 . 599 . 5101 0 . 5x2 y?22322110 ????? xxxy ???? ???? 21422322110 ????? xxxxxy ????? ?????兩模型 與 x1,x2關(guān)系的 比較 y?交互作用影響的討論 6 7 1 5 5 2 6 1 xxy x ????價(jià)格差 x1= 價(jià)格差 x1= 2 6 7 1 5 1 5 3 1 xxy x ????21422322110 ????? xxxxxy ????? ?????5 35 ?x加大廣告投入使銷售量增加 （ x2大于 6百萬元） 價(jià)格差較小時(shí)增加的速率更大 5 6 7 87 . 588 . 599 . 5101 0 . 5x 1 = 0 . 1x 1 = 0 . 3x2 y? 11 ?? ?? ? xx yy價(jià)格優(yōu)勢會使銷售量增加 價(jià)格差較小時(shí)更需要靠廣告來吸引顧客的眼球 完全二次多項(xiàng)式模型 ??????? ??????? 22521421322110 xxxxxxyMATLAB中有命令 rstool直接求解 0 0 . 2 0 . 47 . 588 . 599 . 5105 . 5 6 6 . 5 7y?)?,?,?,?,?,?(? 543210 ??????? ?從輸出 Export 可得 鼠標(biāo)移動十字線 (或下方窗口輸入 )可改變 x1, x2, 左邊窗口顯示預(yù)測值 及預(yù)測區(qū)間 y?牙膏的銷售量 建立統(tǒng)計(jì)回歸模型的基本步驟 ? 根據(jù)已知數(shù)據(jù)從常識和經(jīng)驗(yàn)分析 , 輔之以作圖 , 決定回歸變量及函數(shù)形式 (先取盡量簡單的形式 ). ? 用 軟件 (如 MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱 )求解 . ? 對結(jié)果作 統(tǒng)計(jì)分析 : R2,F, p, s2是對模型整體評價(jià) , 回歸系數(shù)置信區(qū)間是否含零點(diǎn)檢驗(yàn)其影響的顯著性 . ? 模型改進(jìn) , 如增添二次項(xiàng)、交互項(xiàng)等 . ? 對因變量進(jìn)行 預(yù)測 . 軟件開發(fā)人員的薪金 資歷 ~ 從事專業(yè)工作的年數(shù)；管理 ~ 1=管理人員 ,0=非管理人員；教育 ~ 1=中學(xué)， 2=大學(xué)， 3=更高程度 . 建立模型研究薪金與資歷、管理責(zé)任、教育程度的關(guān)系 . 分析人事策略的合理性，作為新聘用人員薪金的參考 . 編號 薪金 資歷 管理 教育 01 13876 1 1 1 02 11608 1 0 3 03 18701 1 1 3 04 11283 1 0 2 ? ? ? ? 編號 薪金 資歷 管理 教育 42 27837 16 1 2 43 18838 16 0 2 44 17483 16 0 1 45 192