羅默高級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)(第3版)課后習(xí)題詳解(第1章索洛增長模型)(已修改)
2025-04-06 07:19 本頁面
【正文】 Born to win經(jīng)濟(jì)學(xué)考研交流群 點(diǎn)擊加入 羅默《高級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》（第3版）第1章 索洛增長模型跨考網(wǎng)獨(dú)家整理最全經(jīng)濟(jì)學(xué)考研真題，經(jīng)濟(jì)學(xué)考研課后習(xí)題解析資料庫，您可以在這里查閱歷年經(jīng)濟(jì)學(xué)考研真題，經(jīng)濟(jì)學(xué)考研課后習(xí)題，經(jīng)濟(jì)學(xué)考研參考書等內(nèi)容，更有跨考考研歷年輔導(dǎo)的經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)哥學(xué)姐的經(jīng)濟(jì)學(xué)考研經(jīng)驗(yàn)，從前輩中獲得的經(jīng)驗(yàn)對初學(xué)者來說是寶貴的財(cái)富，這或許能幫你少走彎路，躲開一些陷阱。以下內(nèi)容為跨考網(wǎng)獨(dú)家整理，如您還需更多考研資料，可選擇經(jīng)濟(jì)學(xué)一對一在線咨詢進(jìn)行咨詢。 增長率的基本性質(zhì)。利用一個(gè)變量的增長率等于其對數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)的事實(shí)證明：（a）兩個(gè)變量乘積的增長率等于其增長率的和，即若，則（b）兩變量的比率的增長率等于其增長率的差，即若，則（c）如果，則證明：（a）因?yàn)橐粋€(gè)變量的增長率等于對該變量取對數(shù)后再對時(shí)間求導(dǎo)，那么可得下式：因?yàn)閮蓚€(gè)變量的積的對數(shù)等于兩個(gè)變量各自對數(shù)之和，所以有下式：再簡化為下面的結(jié)果：則得到（a）的結(jié)果。（b）因?yàn)橐粋€(gè)變量的增長率等于對該變量取對數(shù)后再對時(shí)間求導(dǎo)，那么可得下式：因?yàn)閮蓚€(gè)變量的比率的對數(shù)等于兩個(gè)變量各自對數(shù)之差，所以有下式：再簡化為下面的結(jié)果:則得到（b）的結(jié)果。（c）因?yàn)橐粋€(gè)變量的增長率等于對該變量取對數(shù)后再對時(shí)間求導(dǎo)，那么可得下式：又由于，其中是常數(shù)，有下面的結(jié)果：則得到（c）的結(jié)果。 假設(shè)某變量的增長率為常數(shù)且在時(shí)刻等于，在時(shí)刻下降為0，在時(shí)刻逐漸由0上升到，在時(shí)刻之后不變且等于。（a）畫出作為時(shí)間函數(shù)的的增長率的圖形。（b）畫出作為時(shí)間函數(shù)的的圖形。答：（a）根據(jù)題目的規(guī)定，的增長率的圖形如圖11所示。從時(shí)刻到時(shí)刻的增長率為常數(shù)且等于（），為圖形中的第一段。的增長率從0上升到，對應(yīng)于圖中的第二段。從時(shí)刻之后，的增長率再次變?yōu)椤D11 時(shí)間函數(shù)的增長率（b）注意到關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（即的斜率）等于的增長率，即：因此，關(guān)于時(shí)間的圖形如圖12所示：從0時(shí)刻到時(shí)刻，的斜率為（），在時(shí)刻，的增長率出現(xiàn)不連續(xù)的變化，因此的斜率出現(xiàn)扭曲，在時(shí)刻至?xí)r刻，的斜率由0逐漸變?yōu)?；從時(shí)刻之后，的斜率再次變?yōu)椋ǎ?。圖12 關(guān)于時(shí)間的圖形 描述下面的每一種變化（如果存在的話）怎樣影響索洛模型的基本圖中的持平投資與實(shí)際投資線。（a）折舊率下降。（b）技術(shù)進(jìn)步率上升。（c）生產(chǎn)函數(shù)是柯布—道格拉斯型，并且資本份額上升。（d）工人們發(fā)揮更大的努力，使得對于單位有效勞動的資本的既定值，單位有效勞動的產(chǎn)出比以前更高。答：（a）折舊率下降的影響由于持平投資線的斜率為，當(dāng)折舊率下降后，持平投資線的斜率下降，持平投資線向右轉(zhuǎn)，而實(shí)際投資線則不受影響。從圖13可以看出，平衡增長路徑的資本存量水平從上升到。圖13 折舊率下降的影響（b）技術(shù)進(jìn)步率上升的影響由于持平投資線的斜率為，當(dāng)技術(shù)進(jìn)步率上升后，會使持平投資線的斜率變大，持平投資線向左轉(zhuǎn)，而實(shí)際投資線則不受影響。從圖14可以看出，平衡增長路徑的資本存量水平從下降到。圖14 技術(shù)進(jìn)步率上升對穩(wěn)態(tài)人均資本存量的影響（c）生產(chǎn)函數(shù)是柯布—道格拉斯型的，并且資本份額上升的影響由于持平投資線的斜率為，因此上升對持平投資線沒有影響。由于實(shí)際投資線為，而，因此。當(dāng)資本份額上升時(shí)，實(shí)際投資線的變化需要分情況討論：對于，如果，或者，則，即實(shí)際投資線隨增加而上升，則新的實(shí)際投資線位于舊的實(shí)際投資線之上；反之，如果，或者，則新的實(shí)際投資線位于舊的實(shí)際投資線之下；對于，則新的實(shí)際投資線與舊的實(shí)際投資線重合。除此之外，上升對于的影響還受到和的大小的影響。如果，的上升會使上升，如圖15所示。圖15 資本份額上升的影響（d）工人們發(fā)揮更大的努力，使得對于單位有效勞動的資本的既定值，單位有效勞動的產(chǎn)出比以前有更高的影響：如果修改密集形式的生產(chǎn)函數(shù)形式為：，則實(shí)際投資線為。工人們更加努力的勞動，則單位有效勞動的產(chǎn)出比以前提高，即表現(xiàn)為上升，的上升會使實(shí)際投資線上升；持平投資線并不受影響，此時(shí)，也從上升到，如圖16所示。圖16 單位有效產(chǎn)出比以前更高的影響 考慮一個(gè)具有技術(shù)進(jìn)步但無人口增長的經(jīng)濟(jì)，其正處在平衡增長路徑上。現(xiàn)在假設(shè)工人數(shù)發(fā)生了一次跳躍。（a）在跳躍時(shí)刻每單位有效勞動的產(chǎn)出是上升、下降還是保持不變？為什么？（b）在新工人出現(xiàn)時(shí)，每單位有效勞動的產(chǎn)出發(fā)生初始變化（如果存在的話）之后，單位有效勞動的產(chǎn)出是否存在任何進(jìn)一步的變化？如果發(fā)生變化，其將上升還是下降？為什么？（c）一旦經(jīng)濟(jì)再次達(dá)到平衡增長路徑，此時(shí)的每單位有效勞動的產(chǎn)出是高于、低于還是等于新工人出現(xiàn)之前的每單位有效勞動的產(chǎn)出？為什么？答：（a）假定在時(shí)刻，工人數(shù)量發(fā)生了一次離散的上升，這使得每單位有效勞動的投資數(shù)量從下降到。從這一式子中可以看出，由于上升，而和則沒有變化，因此，會下降。因?yàn)?，所以每單位有效勞動的投資數(shù)量的下降會降低每單位有效勞動的產(chǎn)出。在圖17中，從下降到。圖17 單位有效勞動數(shù)量降低的影響（b）在處，每單位有效勞動的投資超過了每單位有效勞動的持平投資，即：。在處，經(jīng)濟(jì)中儲蓄和投資超過了折舊和技術(shù)進(jìn)步所需要的投資數(shù)量，因此開始上升。隨著每單位有效勞動的資本上升，每單位有效勞動的產(chǎn)出也會上升。因此，從返回到。（c）每單位有效勞動的資本會持續(xù)不斷的上升，直到返回到原先的資本水平。在處，每單位有效勞動的投資恰好與持平投資相等，即：每單位有效勞動的投資抵消了折舊和技術(shù)進(jìn)步所需要的投資數(shù)量。一旦經(jīng)濟(jì)返回到平衡增長路徑，便會返回到處，從而每單位有效勞動的產(chǎn)出也會返回到原先的水平。所以，一旦經(jīng)濟(jì)再次達(dá)到平衡增長路徑，每單位有效勞動的產(chǎn)出等于新工人出現(xiàn)之前的產(chǎn)出。 設(shè)生產(chǎn)函數(shù)是柯布—道格拉斯型的。（a）找出作為模型參數(shù)、和
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