橢圓雙曲線拋物線典型例題整理(已修改)
2025-04-06 04:50 本頁面
【正文】 橢圓典型例題一、已知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。例1：已知橢圓的焦點是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是橢圓上一點，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求橢圓的標準方程。解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝22＝4，得2a＝＝1，所以b2＝3.所以橢圓的標準方程是＋＝1. 2．已知橢圓的兩個焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且2a＝10，求橢圓的標準方程．解：由橢圓定義知c＝1，∴b＝＝.∴橢圓的標準方程為＋＝1.二、未知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。例：1. 橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程．解：（1）當為長軸端點時，，橢圓的標準方程為：；（2）當為短軸端點時，，橢圓的標準方程為：；三、橢圓的焦點位置由其它方程間接給出，求橢圓的標準方程。例．求過點(－3,2)且與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓的標準方程．解：因為c2＝9－4＝5，所以設所求橢圓的標準方程為＋＝(－3,2)在橢圓上知＋＝1，所以a2＝＋＝1.四、與直線相結(jié)合的問題，求橢圓的標準方程。例： 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．解：由題意，設橢圓方程為，由，得，∴，，∴，∴為所求．五、求橢圓的離心率問題。例1 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率．解： ∴，∴．例2 已知橢圓的離心率，求的值． 解：當橢圓的焦點在軸上時，，得．由，得．當橢圓的焦點在軸上時，，得．由，得，即．∴滿足條件的或． 六、由橢圓內(nèi)的三角形周長、面積有關(guān)的問題 例：△ABC的兩個頂點坐標A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長為18，求頂點C的軌跡方程。解：頂點C到兩個定點A，B的距離之和為定值10，且大于兩定點間的距離，因此頂點C的軌跡為橢圓，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故頂點C的軌跡方程為＋＝、B、C三點構(gòu)成三角形，所以y≠＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0)2．已知橢圓的標準方程是＋＝1(a5)，它的兩焦點分別是F1，F(xiàn)2，且F1F2＝8，弦AB過點F1，求△ABF2的周長．4a＝4.3．設FF2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且PF1∶PF2＝2∶1，求△PF1F2的面積．
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