初中幾何證明題庫：矩形(已修改)
2025-04-05 12:34 本頁面
【正文】 ，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F(xiàn)，AE與FG交于點O．（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當△AED的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N是線段BC的中點；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長．【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF?！唷螮FG=∠EGF?！郋F=EG=AG?！嗨倪呅蜛GEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG）。又∵AG=GE，∴四邊形AGEF是菱形。（2）連接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點O是AE的中點，△AED的外接圓與BC相切于點N，∴ON⊥BC。∵點O是AE的中點，∴ON是梯形ABCE的中位線?！帱cN是線段BC的中點。（3）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30176。在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30176。，∴?！郌G=。【考點】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，從而結(jié)合AG=GE，可得出結(jié)論。（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，從而可得出結(jié)論。 （3）根據(jù)（1）可得出AE=AB，從而在Rt△ADE中，可判斷出∠AED為30176。，在Rt△EFO中求出FO，從而可得出FG的長度。、BC、CD、DA的中點E、F、G、H，得到四邊形EFGH，M為邊EH的中點，點P為小明在對角線EG上走動的位置，若AB=10米，BC=米，當PM+PH的和為最小值時，EP的長為 ▲ 。，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），點P是AB邊上的任意一點（不與點A、B重合），連接PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BC于點Q．（1）當m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由；（2）連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．，AB=3cm，AD=4cm，過對角線BD的中點O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，則AE的長為 ▲ ．，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連結(jié)CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為1︰4，則 的值為【 】A．2 B．4 C． D．【答案】D?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】過點N作NG⊥BC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCN是菱形，由△CDN的面積與△CMN的面積比為1：4，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，可得DN：CM=1：4，然后設(shè)DN=x，由勾股定理可求得MN的長，從而求得答案：過點N作NG⊥BC于G，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形CDNG是矩形，AD∥BC?！郈D=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN?！郃M=AN?！郃M=CM，∴四邊形AMCN是平行四邊形。∵AM=CM，∴四邊形AMCN是菱形?！摺鰿DN的面積與△CMN的面積比為1：4，∴DN：CM=1：4。設(shè)DN=x，則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x?！?
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