分類討論思想在解題中的應用(已修改)
2025-04-05 12:26 本頁面
【正文】 分類討論思想在解題中的應用主講人：黃岡中學高級教師 湯彩仙一、復習策略 分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用，因此，有關分類討論的思想的數(shù)學命題在高考試題中占有重要地位． 所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學問題時，當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”．1. 分類討論的思想方法是中學數(shù)學的基本方法之一，是歷年高考的重點 ?、欧诸愑懻摰乃枷刖哂忻黠@的邏輯特點； ?、品诸愑懻搯栴}一般涵蓋知識點較多，有利于對學生知識面的考察； ⑶解決分類討論問題，需要學生具有一定的分析能力和分類技巧； ?、确诸愑懻摰乃枷肱c生產實踐和高等數(shù)學都緊密相關．2. 分類討論的思想的本質 分類討論思想的本質上是“化整為零，積零為整”，從而增加了題設條件的解題策略．3. 運用分類討論的思想解題的基本步驟 ?、糯_定討論對象和確定研究的區(qū)域； ?、茖λ懻摰膯栴}進行合理的分類（分類時需要做到不重復、不遺漏、標準統(tǒng)一、分層不越級）； ?、侵痤愑懻摚杭磳Ω黝悊栴}詳細討論，逐步解決； ⑷歸納總結，整合得出結論．4. 明確分類討論的思想的原因，有利于掌握分類討論的思想方法解決問題，其主要原因有： ⑴由數(shù)學概念引起的分類討論：如絕對值定義、等比數(shù)列的前n項和公式等等； ?、朴蓴?shù)學運算要求引起的分類討論：如偶次方根非負、對數(shù)中的底數(shù)和真數(shù)的要求、不等式兩邊同乘以實數(shù)對不等號方向的影響等等； ?、怯珊瘮?shù)的性質、定理、公式的限制引起的分類討論； ?、扔蓭缀螆D形中點、線、面的相對位置不確定引起的分類討論； ?、捎蓞?shù)的變化引起的分類討論：某些含參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同，或由于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法； ?、势渌鶕?jù)實際問題具體分析進行分類討論，如排列、組合問題，實際應用題等．5. 分類討論思想的類型 ⑴問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進行分類討論的； ?、茊栴}中的條件是分類給出的； ?、墙忸}過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的； ?、壬婕皫缀螁栴}時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的．二、典例剖析例（2007上海）直角坐標系中，分別是與軸正方向同向的單位向量．在直角三角形ABC中，若，則k的可能值個數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4解析： 由（2，1），（3，k），得（1，k－1）， 由于為直角三角形，則，都可能為直角， 由向量數(shù)量積為0，分別有或或， 解得或．答案：B點評： 本題主要考查向量運算及向量垂直的判定，也考查了學生分類討論思想能力，引起分類的原因是直角三角形直角的不確定，但有的學生也可能想到位置有三種情況，故主觀認為有三個值，這也是值得思考的．例將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（?。 ． B． C． D．解析： 連續(xù)擲三次骰子出現(xiàn)點數(shù)的方法總數(shù)為種，其中公差為0的等差數(shù)列有6個，公差為1或－1的等差數(shù)列有個，公差為2或－2的等差數(shù)列有個，所以滿足條件中的概率為．答案：B點評： 本題主要考查概率基礎知識，排列組合知識和等差數(shù)列的性質，由于取出的三個數(shù)成等差數(shù)列，則三個數(shù)由于順序且公差不確定，所以需要分類進行計數(shù)．例（2007陜西）已知橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為． ?。?）求橢圓C的方程； （2）設直線l與橢圓C交于A，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求面積的最大值．分析： 圓錐曲線方程的確定要了解其中參數(shù)字母具有的幾何意義，掌握字母間的基本關系．解： ?。?）設橢圓的半焦距為c，依題意，∴所求橢圓方程為． ?。?）設，．
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