二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題(已修改)
2025-04-05 06:25 本頁面
【正文】 二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題【學前思考】 二次函數(shù)在閉區(qū)間上取得最值時的，只能是其圖像的頂點的橫坐標或給定區(qū)間的端點. 因此，影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三個因素：拋物線的開口方向、對稱軸以及給定區(qū)間的位置. 在這三大因素中，最容易確定的是拋物線的開口方向（與二次項系數(shù)的正負有關），而關于對稱軸與給定區(qū)間的位置關系的討論是解決二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題的關鍵. 本節(jié)，我們將以若干實例說明解決此類問題的具體方法.【知識要點＆例題精講】 二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，常見的有以下三種類型，分別是：CaseⅠ、給定區(qū)間確定，對稱軸位置也確定說明：此種類型是較為簡單的一種，只要找到二次函數(shù)的對稱軸，畫出其函數(shù)圖像，再將給定區(qū)間標出，那么二次函數(shù)的最值一目了然.解法：若二次函數(shù)的給定區(qū)間是確定的，其對稱軸的位置也確定，則要求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，只需先考察其對稱軸的橫坐標是否在給定區(qū)間內. （i）當其對稱軸的橫坐標在給定區(qū)間內時，二次函數(shù)在給定區(qū)間上不具有單調性，此時其一個最值在頂點處取得，另一個最值在離對稱軸的橫坐標較遠的端點處取得；（ii）當其對稱軸的橫坐標不在給定區(qū)間內時，二次函數(shù)在給定區(qū)間上具有單調性，此時可利用二次函數(shù)的單調性確定其最值.例二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值是_______.例函數(shù)在區(qū)間上的最大值是_______，最小值是_______.例已知，則函數(shù)的最大值是_______，最小值是______.CaseⅡ、給定區(qū)間確定，對稱軸位置變化說明：此種類型是非常重要的，是考試必考點，主要是討論二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關系，一般需要分對稱軸在給定區(qū)間的左側、內部以及右側三種情況進行分類討論，然后根據(jù)不同情況求出相應的最值.解法：若二次函數(shù)的給定區(qū)間是確定的，而其對稱軸的位置是變化的，則要求二次函數(shù)（）在給定區(qū)間上的最值，需對其對稱軸與給定區(qū)間的位置關系進行分類討論
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