【正文】 YN輸出 n開始 1a2n?， 1n?32a20a?結束（第 5 題）2022 年普通高等學校統(tǒng)一考試試題（江蘇卷）一、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計 70 分。請把答案填寫在答題卡相印位置上。1．函數(shù) 的最小正周期為 ．)42sin(3???xy【答案】π【解析】T＝| |＝| |＝π．2πω 2π22．設 （ 為虛數(shù)單位） ，則復數(shù) 的模為 ．)(iz??z【答案】5【解析】z＝3 －4i ，i 2＝－1 ，| z |＝ ＝5．3．雙曲線 的兩條漸近線的方程為 ．96??yx【答案】 43?【解析】令： ，得 ．09162??yxxy431692??4．集合 共有 個子集．},{【答案】8【解析】2 3＝8．5．右圖是一個算法的流程圖，則輸出的 的值是 ．n【答案】3【解析】n ＝1 ，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3 ；a＝28，n＝4．6．抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位設計運動員的 5 此訓練成績（單位：環(huán)） ，結果如下：運動員 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次甲 87 91 90 89 93乙 89 90 91 88 92則成績較為穩(wěn)定（方差較小）的那位運動員成績的方差為 ．【答案】2【解析】易得乙較為穩(wěn)定，乙的平均值為： ．905289108???x方差為： ．2)()()()90()89( 2222 ?????S7．現(xiàn)在某類病毒記作 ，其中正整數(shù) ， （ ， ）可以任意選取，則nmYXn7?m9nm，都取到奇數(shù)的概率為 ． 【答案】 6320【解析】m 取到奇數(shù)的有 1， 3，5，7 共 4 種情況；n 取到奇數(shù)的有 1，3 ，5，7，9 共 5 種情況，則 都取到奇數(shù)的概率為 ．n， 6209??8．如圖，在三棱柱 中， 分別是ABC?1FED，的中點，設三棱錐 的體積為 ，三棱柱ACB， 1V的體積為 ，則 ．?12V?21:【答案】1：24【解析】三棱錐 與三棱錐 的相似比為 1：2，故體DEFABC?1積之比為 1：8．又因三棱錐 與三棱柱 的體積之比為 1：3．所以，三棱錐 與ABC?1 ADEF?三棱柱 的體積之比為 1：24．19．拋物線 在 處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為 (包含三角形內部和邊界) 2xy? D．若點 是區(qū)域 內的任意一點，則 的取值范圍是 ．),(PDyx2?【答案】[—2， ]12【解析】拋物線 在 處的切線易得為 y＝2x —1，令 z＝ ，y ＝— x＋ ．xy?1x2?12 z2畫出可行域如下，易得過點(0，—1)時，z min＝—2，過點( ，0)時，z max＝ ．12 12yxOy＝2x—1y＝— x1210．設 分別是 的邊 上的點， ， ，ED， ABC?， ABD?CE32若 （ 為實數(shù)） ，則 的值為 ．21???21， 21??【答案】12BC1AF1B1 yxlBFOcb a【解析】 )(321321ACBBCAEDB????216??所以， ， ， ．61???32??21?1211．已知 是定義在 上的奇函數(shù)。當 時， ，則不等式 的)(xfR0?xxf4)(2??xf?)(解集用區(qū)間表示為 ．【答案】(﹣5 ，0) ∪(5，﹢∞)【解析】做出 ( )的圖像，如下圖所示。由于 是定義在 上的奇函數(shù)，xf4(2?? )(xfR利用奇函數(shù)圖像關于原點對稱做出 x＜0 的圖像。不等式 ，表示函數(shù) y＝ 的圖像在f?)()(xfy＝x 的上方，觀察圖像易得：解集為( ﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 。xyy＝xy＝x 2—4 xP(5,5)Q(﹣5, ﹣5)12．在平面直角坐標系 中，橢圓 的標準方程為 ，右焦點為xOyC)0,(12???bayx，右準線為 ，短軸的一個端點為 ，設原點到直線 的距離為 ， 到 的距離為FlBBF1dl，若 ，則橢圓 的離心率為 ．2d16d?【答案】 3【解析】如圖，l：x＝ ， ＝ －c＝ ，由等面ca2d2b2積得： ＝ 。若 ，則 ＝ ，整1db126?26a理得： ，兩邊同除以： ，得： ，解之得：0622?a2 0662?????????ab ＝ ，所以，離心率為： ．ab3631e2????????ab13．在平面直角坐標系 中，設定點 ， 是函數(shù) （ ）圖象上一動點，xOy),(APxy1?0?若點 之間的最短距離為 ，則滿足條件的實數(shù) 的所有值為 ．AP， 2a【答案】1 或 10【解析】14．在正項等比數(shù)列 中， ， ，則滿足 的}{na215?376?a nnaa?? 2121??最大正整數(shù) 的值為 ．【答案】12【解析】設正項等比數(shù)列 首項為 a1，公比為 q，則： ，得：}{n ??????3)1(254qaa1＝ ，q＝2，a n＝2 6－n ．記 ， ．132 5212????nnT? 2)1(21nnna???，則 ，化簡得： ，當 時，nT??2)1(5??1???nn 5??．當 n＝12 時， ，當 n＝13 時， ，故 nmax＝12．213???12T13?T二、解答題：本大題共 6 小題，共計 90 分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15． （本小題滿分 14 分）已知 ， ．)sin,(co)sin,(co???ba、 ???0（1 ）若 ，求證： ；2||?a?（2 ）設 ，若 ，求 的值．)1,0(??,解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，|a－b| 2＝(cosα－cosβ) 2＋(sinα－sinβ) 2＝2 －2(cosα cosβ＋sinαsinβ)＝2，所以，cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，所以， ．? （2 ） ，① 2＋② 2 得：cos(α－β)＝－ ．?????1sin0co??12所以，α－β＝ ，α＝ ＋β，?32帶入②得：sin( ＋β) ＋sinβ＝ cosβ＋ sinβ＝sin( ＋β)＝1 ，2312 3?所以， ＋β＝ ．3?2所以，α＝ ，β ＝ ．6516． （本小題滿分 14 分）如圖，在三棱錐 中，平面 平面 ， ， ，過 作ABCS??SBCA?ABS?，垂足為 ，點 分別是棱 的中點．求證：AF?FGE、（1 ）平面 平面 ；/E（2 ） ．B證：（1）因為 SA＝AB 且 AF⊥SB，所以 F 為 SB 的中點．又 E，G 分別為 SA，SC 的中點，所以，EF∥AB，EG∥AC ．又 AB∩ AC＝A， AB 面 SBC，AC 面 ABC，?所以，平面 平面 ．/BC（2 ）因為平面 SAB⊥平面 SBC，平面 SAB∩平面 SBC＝BC，AF 平面 ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面 SBC．又 BC 平面 SBC，所以，AF⊥BC．又 AB⊥ BC，AF∩AB ＝A ，所以，BC⊥平面 SAB．又 SA 平面 SAB，?所以， ．SBC?17． （本小題滿分 14 分）如圖，在平面直角坐標系 中，點 ，直線 ．xOy)3,0(A42:??xyl設圓 的半徑為 ，圓心在 上．1l（1 ）若圓心 也在直線 上，過點 作圓 的切線，1??C 求切線的方程；（2 ）若圓 上存在點 ，使 ，求圓心 的橫坐CMA2 標 的取值范圍．a解：（1）聯(lián)立： ，得圓心為：C (3，2) ．?????421xyABCGFExyA lO 設切線為： ，3??kxyd＝ ，得： ．11|23|?r430??kork故所求切線為： ．430??xyoy（2 ）設點 M(x，y) ，由 ，知： ，OA2222)(yxy???化簡得： ，)12?即：點 M 的軌跡為以 (0，1)為圓心，2 為半徑的圓，可記為圓 D．又因為點 在圓 上，故圓 C 圓 D 的關系為相交或相切．故：1≤| CD|≤3，其中 ．22)3(???a解之得：0≤a≤ ．12518． （本小題滿分 16 分）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點 處下山至 處有兩種路徑。一種是從 沿直線步行ACA到 ，另一種是先從 沿索道乘纜車到 ，然后從 沿直線步行到 ．現(xiàn)有甲、乙兩CBC位游客從 處下山，甲沿 勻速步行，速度為 ．在甲出發(fā) 后，乙從Amin/50in2乘纜車到 ，在 處停留 后，再從勻速步行到 ．假設纜車勻速直線運動的Bmin1速度為 ，山路 長為 ，經測量， ， ．in/1302613cos?5cos（1 ）求索道 的長；（2 ）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3 ）為使兩位游客在 處互相等待的時間不超過 分鐘，C3 乙步行的速度應控制在什么范圍內？解：（1）如圖作 BD⊥CA 于點 D，設 BD＝ 20k，則 DC＝25 k，AD＝48 k，AB＝ 52k，由 AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝ 1040m．（2 ）設乙出發(fā) x 分鐘后到達點 M，此時甲到達 N 點，如圖所示．則：AM＝130x，AN ＝50( x＋2)，由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－ 2 AMANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，其中 0≤x≤8 ，當 x＝ (min)時，MN 最小，此時乙在纜車上與甲的距離最短．3537（3 ）由（1 ）知：BC ＝500m，甲到 C 用時： ＝ (min)．126050 1265若甲等乙 3 分鐘，則乙到 C 用時： ＋3＝ (min)，在 BC 上用時： (min) ．1265 1415 865此時乙的速度最小，且為：500247。 ＝ m/min．865 125043CBADMN 若乙等甲 3 分鐘，則乙到 C 用時： －3＝ (min)，在 BC 上用時： (min) ．1265 1115 565此時乙的速度最大，且為：500247。 ＝ m/min．565 62514故乙步行的速度應控制在[ ， ]范圍內．125043 6251419． （本小題滿分 16 分）設 是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列 ， 是其前 項和．記 ，}{nad)(?dnSSb??2，其中 為實數(shù)．*N?c（1 ）若 ，且 成等比數(shù)列，證明： （ ） ；0?421b、 knk2?*,N?（2 ）若 是等差數(shù)列，證明： ．}{nb0?c證：（1）若 ，則 ， ， ．cdnan)(??2])1[(adSn??2)1(adnb??當 成等比數(shù)列， ，42 412b即： ，得： ，又 ，故 ．??????????????3adad2?0?ad?由此： ， ， ．nS2knnk22)( knS2故： （ ） ．kk*,N?（2 ） ， adSb???22)1(adnad????22)1()1()(． (※)adn???2)(2)1(若 是等差數(shù)列，則 型．}{nbBnAbn觀察(※) 式后一項，分子冪低于分母冪，故有： ，即 ，而 ≠0，02)1???ad02)1(???adc2)1(adn??故 ．0?c經檢驗，當 時 是等差數(shù)列．}{nb 20． （本小題滿分 16 分）設函數(shù) ， ，其中 為實數(shù)．axf??ln)( axeg??)(（1 ）若 在 上是單調減函數(shù)，且 在 上有最小值，求 的取值范圍；x,1??)(g),1??a（2 ）若 在 上是單調增函數(shù)，試求 的零點個數(shù)，并證明你的結論．)(g)xf解：（1） ≤0 在 上恒成立，則 ≥ ， ．axf??? ),(a)1(??，故： ≥1．，g?e)(若 1≤ ≤e ，則 ≥0 在 上恒成立，aaxg???e)(),1(??此時， 在 上是單調增函數(shù)，無最小值，不合；)(),若 ＞e，則 在 上是單調減函數(shù)，在 上是單調增函xeln(， )(ln??，a數(shù)， ，滿足．)ln()minagx?故 的取