【正文】 1 數(shù)學物理方法 主講：袁長迎 教授 Tel: 13890109310 Email: 2 第一篇 復變函數(shù)論 第一章 復變函數(shù) ? 復數(shù) ? 復變函數(shù) ? 導數(shù) ? 解析函數(shù) ? 本章小結(jié) 3 作業(yè) 167。 1. （ 6）（ 8） 2. （ 6）（ 7） 3. （ 4）（ 8） 167。 2. （ 2）（ 3）（ 8） 3. 167。 1. 167。 1. 2. （ 1）（ 6）（ 10） 4 167。 復數(shù) ? 數(shù)的概念的擴展 —— 自然數(shù) —— 減法不封閉 → 整數(shù) —— 除法不封閉 → 有理數(shù) —— 正數(shù)的指數(shù)運算不封閉 → 實數(shù) —— 負數(shù)的指數(shù)運算不封閉 → 復數(shù) 221i ?5 iyxz ??1．復數(shù)和復數(shù)的代數(shù)式 2．復平面 實軸和虛軸 O x y z φ ρ Re zx?Im zy?Real part Imaginary part 6 ? ???? s inc o s iz ??ize????A rgz ???2a r g0 ?? z22 yx ???3．復數(shù)的三角式 指數(shù)式 (主輻角 ) 4．無窮遠點 零點，輻角沒有定義。 模為無窮大，輻角沒有定義。 (模 ) (輻角 ) 7 5．復數(shù)的運算 ? ?12121 2 1 2 iiir e r e r r e ???? ???? ? ni n inre r e??? ? ? 11 ii nnnr e r e ?? ?ize???? * ize?? ???iyxz ?? *z z x iy? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 2 1 2x i y x i y x x i y y? ? ? ? ? ? ?加減 乘除 冪和開方 復共軛 8 例 已知一復數(shù) Z，畫出 ，并指出它們的幾何關(guān)系。 11, , , ,iz z z zz?9 167。 復變函數(shù) 1．復變函數(shù)的定義 函數(shù)：從一個數(shù)域 (定義域）到另一個數(shù)域（值域）的映射 實變函數(shù)： y = f(x) 復變函數(shù)： w = f(z) 2．復變函數(shù)的定義域 區(qū)域 鄰域 內(nèi)點 外點 境界點 境界線 閉區(qū)域 10 3．初等復變函數(shù) 指數(shù)函數(shù) ? ?c o s s i nz x iy xw e e e y i y?? ? ? ? ?? ?1sin 2 iz izz e ei ???三角函數(shù)和雙曲函數(shù) ? ?1c o s 2 iz izz e e ???? ?1sh 2 zzz e e ???? ?1c h 2 zzz e e ???11 冪函數(shù) nwz?對數(shù)函數(shù) ? ?A r gl n l n l n A r gizz z e z i z? ? ?例： 22zi? ? ?242 2 2 inz i e ? ????????? ? ? ?l n l n 2 24z i n i? ?? ? ? O 12 任意次冪函數(shù) lns s zw z e??根式函數(shù) w z a??例： 242 2 2 inz i e ? ????????? ? ? ?8898222iiniezee??????????????? ???arg21arg22ziziiw z ewzw z e??????? ?? ??單值分支 黎曼面 13 ? ? ? ? ? ?,f z u x y iv x y??如： ? ? ? ? ? ?22 2 2 2f z z x i y x y x y i? ? ? ? ? ? ?? ?c o s sinz x iy x iyxxf z e e e ee y e y i?? ? ? ?? ? ?14 167。 復變函數(shù)的導數(shù) ? ? ? ? ? ?0l imz f z z f zdffz dz z?? ? ? ?? ?? ?yuxvyvxu??????????? , 一、復變函數(shù)的導數(shù)的定義 柯西 黎曼方程 （柯西 黎曼條件） 二、求導法則和導數(shù)基本公式 三、復變函數(shù)導數(shù)存在的必要條件 充分條件： 連續(xù)，滿足科希 黎曼條件 15 四、極坐標系中的科希 黎曼條件 1 1 , u v v u? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?16 167。 解析函數(shù) 一、解析函數(shù)的定義 復變函數(shù) 在區(qū)域 B上處處可導。 ——區(qū)域 B上的解析函數(shù)。 ? ?w f z?二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 調(diào)和函數(shù)： 2222 0uuxy??????? ?,u x y則 為二維調(diào)和函數(shù) 解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。 2222 0uuxy??????2222 0vvxy??????共軛調(diào)和函數(shù) 17 三、解析函數(shù)的性質(zhì) ? ? 1,u x y C? ? ? 2,v x y C?是區(qū)域 B上的兩組正交曲線簇。 ? ? ? ? ? ?,f z u x y iv x y??若 在區(qū)域 B上解析，則 四、舉例：由實（虛）部求虛（實）部 18 ? ? ? ? ? ?yxivyxuzf , ??? ? 22 2, yxyxyxu ??? 2 2vu xyxy??? ? ? ? ??? yxxuyv 22 ???????? ? ? ?2 2 2 2vvdv dx dy x y dx x y dyxy??? ? ? ? ? ? ???? ?22 2 yxyxd ????例 1 已知 是解析函數(shù)，且 求出該解析函數(shù)。 從而 解 ：方法一：湊全微分法 222v x x y y C? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?2 2 2 22221f z u i v x x y y i x x y y Ci z i C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?19 xyyuxv 22 ??????????v ? ? ? ?yYxxydxxy ???? 2222? ? yxyYxyv 222 ???????? ? yyY 2?? ? ? CyyY ?? 2? ? Cyxyxyxv ????? 22 2,? ? ? ? ? ? ? ? 2, , 1f z u x y i v x y i z i C? ? ? ? ?方法二：不定積分法 20 方法三：曲線積分法 ? ? Cyxyxyxv ????? 22 2,? ? ? ? ? ? ? ? 2, , 1f z u x y i v x y i z i C? ? ? ? ?? ? ? ?? ?000022, 0 , 02 222yxyxvvv v d x d yxyxyx d x d yxyx x y y??? ? ???? ? ? ?? ? ? ?????21 本章小結(jié) ? 復變函數(shù) – 定義：兩個復數(shù)集合之間的映射； – 特點：定義域和值域為 2維； – 分析：可以分解成 2個二元實函數(shù)； ? 解析函數(shù) – 滿足 CR條件； – 實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，相互正交。 22 ? 路徑積分（積分的定義） ? 柯西定理 ? 不定積分 ? 柯西公式 ? 本章小結(jié) 第二章 復變函數(shù)的積分 167。 4 習題 2 23 167。 復變函數(shù)的積分 ? ? ? ? ? ?11l i mnk k kl nkf z d z f z z z ??? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, . , .l l lf z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?一、復變函數(shù)積分的定義 二、復變函數(shù)積分的簡單性質(zhì) 24 –例題 1 ? 沿圖所示的三條曲線分別計算復變函數(shù) ∫ Czdz從 O到 B的定積分。 3 22 i?25 –例題 2 ? 沿圖所示的三條曲線分別計算復變函數(shù) ∫ z1dz從 A到 D的定積分。 解： ???iiADdeedzz ??? ?? 01 i???dzzdzzdzzdzz CDBCABAB C D 1111 ???? ???? ???drrdeedrraiia 11 101 ?????? ? ???i???????iiAD deedzz??? ?? 21 i??27 167。 柯西（科希）定理 ? ? 0?? dzzfl一、單連通區(qū)域上的柯西定理 ? ? ? ? ? ?1221ZFZFdzzfzz ???或 ? ?zf l是閉合回路 所圍區(qū)域上的解析函數(shù)，則 若 格林公式 ? ? ? ?,lSQPP x y d x Q x y d y d x d yxy????? ? ?????????28 ? ? ? ?120llf z d z f z d z???? 二、復連通域上的柯西定理 ? ?zf l是閉合回路 所圍的復連通區(qū)域上的解析函數(shù)， 若 則： ? ? ? ?12llf z d z f z d z???29 01 ??? dzazldzazdzaz Cl ?? ??? 11?iaz Re??? ? iidaddzazdzaz iiCl 2ReRe11 2020 ????????????? ????dzazl? ?1例 1 計算回路積分 根據(jù)復連通區(qū)域上的科希定理，有 令 ，則 根據(jù)科希定理 l a解： （ 1）回路 不包圍 的情況 （ 2）回路 l a包圍 的情況 30 ? ? dzazl n? ? ? ?1n ??例 2 計算回路積分 31 167。 不定積分 ? ? ? ?0zzF z f d??? ?例：計算不定積分 ? ? ? ?nlI z a d z n??? 為 整 數(shù)? ?? ?? ?? ?011 , 120 , 1nll a nz a d z l a nil a n???? ? ? ??? ????不 包 圍 ， 整 數(shù)包 圍包 圍32 167。 柯西公式 ? ? ? ? ?? ?? dzfizfl? ?? 21一、柯西公式 意義： 解析函數(shù)的整體性：內(nèi)部值完全由邊界值決定。 33 ? ? ? ? ?? ?? dzfizfl? ?? 2 1證明如下： ? ? ? ? ? ?112 2 llf z f zf z d di z i z??? ? ? ??? ????只需證明 ? ? ? ? 0lf f z dz? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?m a x m a x20lf f z f f zddzzf f z f f zdz??????????? ? ??????????? ? ???????34 二、柯西公式的推論 推論一 解析函數(shù)有任意階導數(shù)。 21 ( )()2 ( )Lff z diz? ???? ? ??()fz?? ??)()3( zf?? ?? dzfinzf L nn ? ??? 1)( )( )(2 !)(43 2 1 ( )2 ( )Lf diz? ???????32 1 ( )2 ( )Lf diz? ??????推論二 模數(shù)原理 f(z)在閉區(qū)域解析，則 |f(z)|在邊界上取最大值 35 模數(shù)原理的證明