【正文】 概率論 概率論－事件發(fā)生的可能性 教師介紹 ? 闞海斌（博士、教授、博士導(dǎo)師） ? 辦公室：袁成英計算機樓 217室 ? Email: 一、必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象 必然現(xiàn)象 在一定條件下肯定會發(fā)生的現(xiàn)象 如水 100186。C沸騰，蘋果從樹上掉落 偶然現(xiàn)象或隨機現(xiàn)象 即使條件一定，結(jié)果也不可預(yù)測 如 擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面或反面？ 買一張彩票，是否中獎？ 是否會發(fā)生水災(zāi)？ 第一章 隨機事件與概率 167。 1 隨機事件 要面對隨機現(xiàn)象進行研究，還有一些要求。 二、隨機試驗與隨機事件 隨機試驗是對隨機現(xiàn)象進行試驗或觀察 相同的條件下可以重復(fù)進行 每次試驗有多種可能的結(jié)果，而且在試驗 之前即可明確有幾種可能。 每次試驗不能預(yù)知哪一結(jié)果會發(fā)生。 當(dāng)目的不同時，結(jié)果也會有不同。 如天氣：下雨或不下雨。 晴、多云、陰、小雨、大雨等。 隨機試驗的每個結(jié)果稱為隨機事件，簡稱事件。 一般用大寫英文字母 A、 B、 C等表示。 例如在 0、 … 、 9中任取一數(shù)。 A表示取到 0， B表示取到 5， C表示取到奇數(shù)， D表示取到 3的倍數(shù)。 它們都是隨機事件。 不能分解為其它事件的事件稱為基本事件。 如 A,B 能分解為其它事件的事件稱為復(fù)合事件。 如 C,D 每次試驗一定發(fā)生的事件稱為必然事件。 如點數(shù)大于 0 一般用 Ω表示必然事件。 每次試驗一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件。 如點數(shù)大于 9 一般用 φ 表示不可能事件 它們是隨機事件的特例。 為了研究的方便，可以用點集來表示事件， 也可以用文氏圖表示。 基本事件用只包含一個元素 ω的單點集 {ω}表示。 復(fù)合事件用包含若干個元素的集合表示。 例如擲一顆骰子， A表示點數(shù)為 4，即為單點集 {4} B表示點數(shù)為偶數(shù)，即為點集 {2,4,6} 點數(shù)為正數(shù)，是必然事件，即為全集 {1,2,3,4,5,6} 點數(shù)為負數(shù)，是不可能事件，即為空集 φ 所有基本事件對應(yīng)的元素組成的集合稱為樣本空間。 每個基本事件對應(yīng)的元素稱為一個樣本點。 三、事件間的關(guān)系及運算 事件的包含 若事件 A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生，即屬于 A的 每個樣本點也屬于 B,則稱事件 B包含事件 A。 等價的說法是： B不發(fā)生，則 A也不發(fā)生。 例如 A={4},B={2,4,6},則 A B ?記作 B A或 A B ? ?對任何事件 A,有 φ A Ω ? ?A 用圖形表示，即 B 事件的相等 若 A B且 B A，稱事件 A與 B相等。 ? ?即 A與 B中的樣本點完全相同。 記作 A=B 擲一顆骰子 A表示點數(shù)小于 3， B表示點數(shù)為 1或 2 則 A=B 事件的并（和） 兩個事件 A， B中至少有一個發(fā)生，即“ A或 B”， 是一個事件，稱為 A與 B的并（和）。 它是由 A與 B的所有樣本點構(gòu)成的集合。 記作 A+B或 A∪ B 擲骰子之例中，若 A={1,2,3},B={1,3,5} 則 A∪B={1,2,3,5} 集合的運算規(guī)律對事件也成立，如 A∪ B=B∪ A,(A∪ B)∪ C=A∪ (B∪ C) A∪ B A,A∪ B B ? ?A∪ φ=A,A∪ Ω=Ω n個事件 A1,…,A n中至少有一個發(fā)生，是一個事件。 稱為事件 A1,…,A n的和。 記作 A1+…+A n或 A1∪ … ∪ An 可列個事件 A1,A2,…,A n,… 中至少有一個發(fā)生 稱為事件 A1,A2,…,A n,… 的和 若 A={1,2,3},B={1,3,5},C={1,3,4} iii1 i1AA??? U＝ ＝記 作 或則 A+B+C={1,2,3,4,5} 用圖形表示，即 A B 事件的交（積） 兩個事件 A與 B同時發(fā)生，即“ A且 B”,是一個事件。 稱為事件 A與 B的交（積）。 它是由 A與 B的公共樣本點構(gòu)成的集合。 記作 AB或 A∩ B 如 A={1,2,3},B={1,3,5} 則 AB={1,3} 它也有運算律： A∩ B=B∩A (A∩B)∩C=A∩(B∩C) A∩B A A∩B B ? ?A∩φ=φ A∩Ω=A 也可定義多個事件的交。 交與并運算還滿足分配律： (A∪ B)∩ C=(A∩C)∪ (B∩C) (A∩B)∪ C=(A∪ C)∩(B∪ C) 用不同的記號，可寫為 (A+B)C=AC+BC (AB)+C=(A+C)(B+C) 用圖形表示，即 B A 事件的差 事件 A發(fā)生而事件 B不發(fā)生，是一個事件， 稱為事件 A與 B的差。 它由屬于 A但不屬于 B的所有樣本點組成。 記作 AB 如： A={1,2,3},B={1,3,5} 則 AB={2},BA={5} A 用圖形表示即 B 互不相容事件 若 A與 B不能同時發(fā)生，即 AB=φ 稱事件 A與 B互不相容或互斥。 互斥事件沒有公共的樣本點。 基本事件間是互不相容的。 如 A={1,2,3},B={1,3,5},C={4,5} A與 C是互不相容的。 A與 B是相容的。 用圖形表示 即 A C 對立事件 事件“非 A”,即 A不發(fā)生，稱為 A的對立事件。 也稱為 A的逆事件。 它是由樣本空間中所有不屬于 A的樣本點組成。 記作 ā 如 A={1,2,3},ā={4,5,6} 易見 A ā=φ,A+ā=Ω ā=ΩA =A A?A 用圖形表示 Ω ā 完備事件組 若事件 A1,…,A n兩兩互不相容， 并且 A1+…+A n＝ Ω 稱 A1,…,A n構(gòu)成一個完備事件組。 A與 ā構(gòu)成一個完備事件組。 若 Ω＝ {1， 2， 3， 4， 5， 6} 則 A1={1,2,3},A2={4,6},A3={5} 是一個完備事件組。 用圖形表示，如 A1 A2 A3 A4 Ω 例 1 從一批產(chǎn)品中每次取出一個產(chǎn)品進行檢驗， 事件 Ai表示第 i次取到合格品 (i=1,2,3)用事件的運 算表示下列事件：三次都取到合格品，三次中至 少有一次取到合格品，三次中恰有兩次取到合格 品，三次中最多有一次取到合格品。 解： 三次全部取到合格品： A1A2A3 三次中至少有一次取到合格品 A1+A2+A3 三次中恰有兩次取到合格品 1 2 3 1 2 3 1 2 3A A A A A A A A A??三次中至多有一次取得合格品 1 2 1 3 2 3A A A A A A??1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3A A A A A A A A A A A A? ? ?或例 2 設(shè) x表示一個沿數(shù)軸做隨機運動的質(zhì)點 的位置，試說明下列各事件的關(guān)系： A={x|x≤20} B={x|x3} C={x|x9} D={x|x5} E={x|x≥9} 解： A C D,B E D與 B,D與 E互不相容 C與 E為對應(yīng)事件。 B與 C， B與 A， E與 A相容 ? ? ?A與 C,A與 D,C與 D,B與 E也是相容的。 符號 集合含義 事件含義 Ω 全集 樣本空間，必然事件 Φ 空集 不可能事件 ω∈ Ω 集合的元素 樣本點 {ω} 單點集 基本事件 A Ω 一個集合 一個事件 A B A的元素在 B中 A發(fā)生導(dǎo)致 B發(fā)生 ??A=B 集合 A與 B相等 事件 A與 B相等 A∪ B A與 B的所有元素 A與 B至少有一個發(fā)生 A∩ B A與 B的共同元素 A與 B同時發(fā)生 ā A的補集 A的對立事件 AB 在 A中而不在 B中的元素 A發(fā)生而 B不發(fā)生 A∩ B=φ A與 B無公共元素 A與 B互斥 167。 2 概率 概率是事件發(fā)生可能性的數(shù)量指標(biāo)。 即在多次重復(fù)后，某結(jié)果出現(xiàn)的比率。 概率應(yīng)有如下特征： (1)是事件本身固有的，可通過大量試驗來檢驗。 (2)符合一般常情，可能性大時，概率也大。 一般敘述可能性時用百分比。 以后為方便更多地用 0到 1之間的小數(shù)。 即 0≤P(A)≤1 且 P(Ω)=1 P(φ)=0 典型概率 要計算事件發(fā)生的可能性，對隨機試驗有一定要求。 (1)每次試驗只有有限個可能的試驗結(jié)果。 (2)每次試驗中，各基本事件發(fā)生的可能性相同。 這種試驗稱為古典概型試驗。 AmPAn() ?有 利 于 的 基 本 事 件 數(shù) ＝試 驗 的 基 本 事 件 總 數(shù)定義 1 若試驗結(jié)果一共有 n個基本事件組成，且這些事 件的出現(xiàn)具有相同的可能性，且事件 A由其中某 m個基 本事件組成，則事件 A的概率為