【正文】 第九章、方差分析及回歸分析 167。 1單因素試驗的方差分析 （一）單因素試驗 ? 試驗指標：在試驗中，要考察的指標稱為試驗指標。 ? 因素：影響試驗指標的條件稱為因素。 ? 水平：因素所處于的狀態(tài)稱為水平。 ? 單因素試驗和多因素試驗：試驗中只有一個因素在改變稱為單因素試驗，如果多于一個因素在改變稱為多因素試驗。 ? 方差分析：根據(jù)試驗的結(jié)果進行分析，鑒別各個因素對試驗結(jié)果的影響的一種分析方法。 ? 化學生產(chǎn)中，因素有： 原料成分、原料劑量、催化劑、反應(yīng)溫度、壓力、反應(yīng)時間、機器設(shè)備、操作人員水平 等。 ? 目的：決定各種因素，使生產(chǎn)過程得以穩(wěn)定。 ? 方法：先進行試驗。 ? 試驗的分析：利用方差分析來分析試驗的結(jié)果。 ? 根據(jù)影響試驗結(jié)果的因素的多少分為單因素試驗的方差分析和多因素試驗的方差分析。 兩個例子 第一個例子 ? 用三臺機器來生產(chǎn)相同的鋁合金薄板，測量薄板的厚度如下表： ? 這里指標是薄板的厚度；因素是機器不同，其他的都相同。 ? 問題是：機器這一因素對厚度有無顯著影響？ 第二個例子 ? 隨機選取的、用于計算器的四種類型的電路的響應(yīng)時間，如下表所示（單位是毫秒） ? 試驗的指標是電路的響應(yīng)時間； ? 考慮的因素是電路類型； ? 目的：是考察電路類型對響應(yīng)時間有無顯著影響。 機器 1 機器 2 機器 3 類型 1 類型 2 類型 3 類型 4 19 15 22 20 18 20 40 21 33 27 16 17 15 18 26 18 22 19 第三個例子 ? 一火箭使用四種燃料，三種推進器做射程試驗。每種燃料與美中推進器的組合個發(fā)射火箭兩次，得射程如下： ? 試驗指標：射程；因素：推進器（三個水平）、燃料（四個水平）；目的：考察推進器核燃料這兩個因素對射程是否有顯著影響。 推進器 (B) B1 B2 B3 燃料 (A) A1 A2 A3 A4 問題的討論 （單因素試驗） ? 對于例 1 ? 在因素的每一個水平下進行獨立試驗，其結(jié)果是一個隨機變量； ? 表中的數(shù)據(jù)看成是來自三個不同總體的樣本值；若記各個總體的均值依次為 μ1， μ2， μ3； ? 則按題意需檢驗假設(shè) H0:μ1=μ2=μ3 ， H1: μ1， μ2， μ3不全相等。 ? 若假設(shè)個總體為正態(tài)變量，且方差相等，但參數(shù)未知。這就變?yōu)闄z驗同方差的多個正態(tài)總體均值是否相等的問題。而方差分析法就是解決這一問題的一種統(tǒng)計方法。 單因素試驗的方差分析 ? 設(shè)因素有 S個水平，在水平 Aj (j=1,2,…,s) 下，進行 nj (nj≥2)次獨立試驗，結(jié)果如下： 水平 觀察結(jié)果 A1 A2 … As X11 X21 … X11 X21 … … … … X11 X21 … 樣本總和 樣本均值 總體均值 μ 1 μ 2 … … … μ s 11nX 12nX 1snX? 假定，各個水平 Aj (j=1,2,…,s) 下樣本 X1j， X2j， … ， 來自具有相同方差 ζ2，均值分別為 μj (j=1,2…s) 的正態(tài)總體， μj和 ζ2未知且在不同水平 Aj下的樣本之間相互獨立。 jnjX),0(~),(~ 22 ???? NXNX jijjij ?即有由于Xij μj可以看成是隨機誤差。記為 Xij μj =εij ，則Xij 可以寫為 Xij = μj +εij εij ~N(0, ζ2),各 εij獨立 i=1,2,…,nj , j=1,2,…,s (1,1)稱為單因素方差分析的數(shù)學模型。 (1,1) 方差分析的任務(wù) I. 檢驗 s個總體 的均值是否相等，即檢驗假設(shè) II. 作出未知參數(shù) 的估計 若記 的加權(quán)平均為 再引入 表示總體平均值與總平均的差異，稱為水平 Aj的效應(yīng)。 這時模型（ )可以改寫為： 不全相等。，ssHH??????,...,:...:211210 ???),(~) . ..,(~),(~ 2222211 ?????? sisii NXNXNX221 , . . . , ???? s（ 1， 2） ???sjjjnn11 ??s??? , .. . , 21, .. . ,2,1, sjjj ??? ???（ 1， 3） （ 1， 4） ? 而假設(shè)（ )等價于假設(shè) ? 我們來導出上述假設(shè)檢驗的檢驗統(tǒng)計量。 ?????????????????sjjjijijijjijnsjniNX12.0, . . . ,2,1, . . . ,2,1,),0(~,???????獨立各個不全相等。ssHH??????,...,:,0...:211210 ????()’ ()’ (二）平方和的分解 ? 引入總偏差平方和（或總變差）與總平均：即 ? 水平 Aj下的樣本均值為 ? 這時，可以將 ST寫成： ? ?? ?? ?? ????sjniijsjniijTjjXnXXXS1 11 121)(與（ 1， 5） （ 1， 6） ???jniijjj XnX1.1（ 1， 7） ? 上式的第三項為 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ????????????sjnijjijsjnijsjnijijsjnijjijTjjjjXXXXXXXXXXXXS1 1..1 12.1 12.1 12..))((2)()()]()[(0])[)(2])([)(2))((21.1.1.1.1 1..?????????????? ?????? ?jjjnijjijsjjnijijsjjsjnijjijXnXXXXXXXXXXX? 若記 ? SE稱為 誤差平方和 ， SA表示 Aj水平下的樣本均值與數(shù)據(jù)總平均的差異，叫做 效應(yīng)平方和， 他是由水平 Aj的效應(yīng)的差異以及隨機誤差引起的。 ??? ?? ???? ?? ?????????sjjjsjjjsjnijAsjnijijEXnXnXXnXXSXXSjj122.12