高二數(shù)學(xué)上學(xué)期重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)總結(jié)(已修改)
2024-11-06 06:33 本頁(yè)面
【正文】 1 不等式的概念和性質(zhì) 基本知識(shí) ： 1．不等式的定義 ：用不等號(hào) “, ,? , ??, ”將兩個(gè)代數(shù)式連接而成的式子叫做不等式。 2．兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小 ： 用作差運(yùn)算定義： 。0 baba ???? 。0 baba ???? .0 baba ???? 用作商運(yùn)算定義： 。1 baba ??? 。1 baba ??? 。1 baba ??? 3．不等式的性質(zhì) ： 不等號(hào)不改變方向的： ① abba ??? （對(duì)稱性） ② cacbba ???? , （傳遞性） ③ mbmaba ????? （不等量加等量） ④ dbcadc ba ?????????（同向不等式相加）（注意：異向不等式不能相加！） ⑤ dbcadc ba ?????????（異向不等式相減）（注意：同向不等式不 能相減！） ⑥ bcacc ba ??????? 0 （不等量乘正量）； bcacc ba ??????? 0 （不等量除正量） ⑦ bdacdc ba ??????? ?? 00（同向不等式相乘）（注意：異向不等式不能相乘！） ⑧ dbcadcba ??????? ??0 0（異向不等式相除）（注意：同向不等式不能相除?。? ⑨ nn baba ???? 0 （不等式的乘方） ⑩ nn baba ???? 0 （不等式的開方） 不等號(hào)要改變方向的： ⑾． bcacc ba ??????? 0 （不等量乘負(fù)量）； bcacc ba ??????? 0 （不等量除負(fù)量） ⑿．baab ba 110 ???????（不等量取倒數(shù)） 2 均值不等式 基本知識(shí) ： 1．均值不等式 1：如果 Rba ?, ，那么 abba 222 ?? （當(dāng)且僅當(dāng) ba? 時(shí)取“ =”） 證明： 222 )(2 baabba ???? ??????? ??? 0)( 0)( 22baba baba 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) abba 222 ?? 2．均值不等式 2：如果 ba, 是正數(shù)，那么 abba ??2（當(dāng)且僅當(dāng) ba? 時(shí)取“ =”） 證明：∵ abba 2)()( 22 ?? ∴ abba 2?? 即： abba ??2 當(dāng)且僅當(dāng) ba? 時(shí) abba ??2 3．變式： 22 ?????? ?? baab， 22 ???????? ?? baab （ ??Rba, ）（ 當(dāng)且僅當(dāng) ba? 時(shí)取“ =”） 4．均方 —— 方均不等式 ： 2)2( 222 baba ??? 5．推廣 ：（不作要求） （ 1） 定理：如果 ??Rcba , ，那么 abccba 3333 ??? （當(dāng)且僅當(dāng) cba ?? 時(shí)取“ =”） 證明：∵ abcabbacbaabccba 333)(3 2233333 ????????? )(3])())[(( 22 cbaabccbabacba ?????????? ]32)[( 222 abcbcacbabacba ????????? ))(( 222 cabcabcbacba ???????? ])()())[((21 222 accbbacba ???????? ∵ ??Rcba , ∴上式≥ 0 從而 abccba 3333 ??? 指出：這里 ??Rcba , ∵ 0??? cba 就不能保證 （ 2）推論：如果 ??Rcba , ，那么 33 abccba ??? （當(dāng)且僅當(dāng) cba ?? 時(shí)取“ =” ） （ 3 ）若 ?? Raaa n,..., 21 ，則 nnn aaan aaa ...... 2121 ????（ 當(dāng)且僅當(dāng) 3 naaa ??? ..21 時(shí)取“ =” ） 6． 不等式鏈 ： 若 ??Ryx, ， 則yx??12≤ xy ≤2yx?≤222 yx ? （調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤加權(quán)平均數(shù)） 7．柯西不等式 （特例）： ))(()( 22222 dcbabdac ???? 8．絕對(duì)值不等式 ： 定 理 |||||||||| bababa ????? ； 三角不等式 |||||||||| bababa ????? (a,b 同號(hào)時(shí)右邊取“ =”， a,b 異號(hào)時(shí)左邊取“ =” ) 推論 1： || 21 naaa ??? ? ≤ |||||| 21 naaa ??? ? . 推論 2： |||||||||| bababa ????? 不等式的證明 基本知識(shí) ：證明不等式時(shí)，常用的基本方法是比較法、綜合法、分析法。 1． 比較法 ： （ 1）求差比較法： baba ???? 0 （ 2）求商比較法： babba?????????01 2．綜合法 ：由已證不等式和不等式性質(zhì)推證結(jié)論。 3．分析法 ：從結(jié)論出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，若這些充分條件均具備，則可判定欲證的不等 式成立。 4．反證法：（正難則反） ①反設(shè)結(jié)論； ②推出矛盾； ③肯定回答。 5．換元法： 常 見
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