[研究生入學考試]概率論167(已修改)
2025-01-31 15:37 本頁面
【正文】 167。 上頁 下頁 返回 例：設 1 0 張彩票中只有一張中獎票， 10 人同時摸這 10 張彩票，張三和李四各得一張。記 {A = 張三中獎 } {B = 李四中獎 } 由古典概率模型我們知 P A P B=1（ ） （ ）=10 一、條件概率 上頁 下頁 返回 顯然，如果已知李四中獎，那么張三就沒有機會中獎，也就是說：在事件 B 發(fā)生的條件下，事件 A 發(fā)生的概率為 0 ，記 ( | ) 0P A B =. 現在設李四先刮開彩票，已知李四有沒有沒中獎的信息對計算張三中獎的的可能性大小有沒有影響？ 如果已知李四沒中獎，張三中獎的機會有多大？也就是說：在事件 B 發(fā)生的條件下，事件 A 發(fā)生的概率為多少？ 1( | )9P A B = 上頁 下頁 返回 例：擲一顆均勻的骰子，出現 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6點的可能性都一樣，因此，每次出現 4 或 6 的可能性為 1/ 3 。 也就是說 樣本空間 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }W= 事件 { 4 6 }A = ， 13PA =（） 上頁 下頁 返回 現在假如有人看了一眼骰子，并告訴你，骰子出現的點數是偶數，這信息對你的判斷或押賭很重要，這時你就有多少把握斷定它是 4 或者 6 ？ 如果記 B ? { 偶數 } ，已知 B 發(fā)生，那么你選擇的范圍就限于 { 2 ,4 ,6 } ，既然出現 2 ,4 ,6 是等可能的，那么出現 { 4 ,6 } 的概率為 2 / 3 。 也就是說：在事件 B 發(fā)生的條件下，事件 A 發(fā)生的概率是 2/ 3, 寫 ( | ) 2 / 3P A B ? 上頁 下頁 返回 回憶一下上面的計算過程： 在事件 B 發(fā)生的條件下 ，選擇的 范圍就限于{ 2 , 4 , 6 }B = , 也就是說我們把 { 2 , 4 , 6 }B162。W = = 當作一個縮小了的新的樣本空間，其中每個基本結果的出現是等可能的。這就形成一個新的古典概率模型。這時再考察事件 A 的概率。 上頁 下頁 返回 ()( | )()P A BP A BPB=一般地，在古典概率 模型下，都可以這樣做，當然我們要求 ( ) 0PB 。對一般的概率空間，我們把它作為條件概率 的數學定義。 上頁 下頁 返回 條件概率定義 假設 ( ? , F , P ) 是一個概率空間， A , B 是兩個事件，用 ( | )P A B 表示在事件 B 發(fā)生的條件下， A 發(fā)生的概率大小，并定義 ()( | )()P A BP A BPB? 當然，在上式中我 們要求 ( ) 0PB ? 。如果( ) 0PB ? ，按定義，人們幾乎無法觀察到 B 的發(fā)生。 上頁 下頁 返回 例 . 一個家庭有兩個孩子。 (1) 已知至少有一個男孩，求兩個都是男孩的概率？ (2) 已知年紀小的是男孩，求兩個都是男孩的概率？ 上頁 下頁 返回 廢品”，“兩件中至少有一件是）設解：（ ?A1“兩件都是廢品”，?B2211)(MmmMmCCCCAP ?? ?則于是所求概率為()M m m M?例 ： 若 件 產 品 包 含 件 廢 品 ， 今 在 其 中任取兩件，求：另一件也一件是廢品的條件下，）已知取出的兩件中有（ 1是廢品的概率。，另一件一件不是廢品的條件下）已知取出的兩件中有（ 2是廢品的概率。BA ?顯然22)(MmCCBP ?)()()(APABPABP ?121)()(?????mMmAPB上頁 下頁 返回 例 一盒中混有 100只新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。 紅 白 新 40 30 舊 20 10 設 A從盒中隨機取到一只紅球 . B從盒中隨機取到一只新球 . 上頁 下頁 返回 )。()()()( )3( 212121 BAAPBAPBAPBAAP ????).(1)( )4( BAPBAP ??則有件是兩兩不相容的事設可加可列性,A,A:)5( 21 ???? ?.)BA(PBAP1i i1i i???????????? ?2. 性質 。1)(0:)1( ?? BAP有界性?0)B|(PBP ???? 1,)(( 2 ) 規(guī)范性上頁 下頁 返回 二、乘法公式 則有，如果與對于兩個事件 ,)A(PBA 0?)()()( ABPAPABP ?則有如果 ,0)( ?BP )()()( BAPBPABP ?ABAABPCBA ?? ，由于假設對于三個事件 0)(,有，兩次應用乘法公式，則有 0)()( ?? ABPAP)()()()()()( ABCPABPAPABCPABPABCP ??如果相應的條件個事件一般地，對于 , 21 nAAAn ?于零，則有概率有定義，其概率大)( 21 nAAAP ?)()()()( 11213121 ?? nn AAAPAAAPAAPAP ??乘法公式： 上頁 下頁 返回 )(),(),( 321211 AAAPAAPAP求：得解：由題
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