【正文】 2022/2/16 1 第八章 相關(guān)與回歸分析 Correlation ? Regression Analysis 章前導(dǎo)語： 有其父，必有其子。 古人和現(xiàn)代人都這么說 ? 真的， ? 公爵夫人說： ? 火烈鳥和芥末都很刺鼻。那意思是說 ‘ 物以類聚 ’ 。 ? ? 但芥末并不是鳥。 ? Alice說。 ? 是的，象往常那樣， ? 公爵夫人說，? 你具有多么清晰的表達(dá)方式！ ? 《 Alice漫游奇境記 》 2022/2/16 2 第八章 相關(guān)與回歸分析 Statistics in Practice 消費(fèi)者應(yīng)該留下多少小費(fèi)？ 在西方國家餐飲等服務(wù)行業(yè)有一條不成文的規(guī)定，即發(fā)生餐飲等服務(wù)項(xiàng)目消費(fèi)時(shí)，必須給服務(wù)員一定數(shù)額的小費(fèi)，許多人都聽說小費(fèi)應(yīng)該是賬單的 16%左右，是否真的如此呢？讓我們來考察表 81，表中的數(shù)據(jù)是經(jīng)過調(diào)查所得的樣本數(shù)據(jù)，通過對這幾組數(shù)據(jù)的分析與觀察，我們能發(fā)現(xiàn)兩者之間的數(shù)量關(guān)系。 表 8 1 賬單與小費(fèi)的成對數(shù)據(jù) 賬單 （美元） 小費(fèi) （美元） 17 12 16 2022/2/16 3 Statistics in Practice 問題： 是否有足夠的證據(jù)斷定：在賬單與小費(fèi)數(shù)額之間存在某種聯(lián)系？ 如果存在某種聯(lián)系，怎樣使用這種聯(lián)系來確定應(yīng)該留下多少小費(fèi)？ 本章的重點(diǎn)就是 基于成對出現(xiàn)的樣本數(shù)據(jù)做出一些推論 。如上例，我們想要確定賬單與小費(fèi)數(shù)額之間是否存在某種聯(lián)系，如果存在，我們就想用一個(gè)公式來描述它，這樣就能找出人們留小費(fèi)時(shí)遵循的規(guī)則。類似這樣的問題還有很多，如： （ 1）犯罪率與偷竊率； （ 2）香煙消費(fèi)與患癌癥率 。 （ 3）個(gè)人收入水平與受教育年限；（ 4）血壓與年齡； （ 5）父母身高與子女身高； （ 6）薪金與酒價(jià)等等。 2022/2/16 4 主要內(nèi)容 相關(guān)關(guān)系概述 一、 變量間的相互關(guān)系 二、 相關(guān)關(guān)系的種類 三、 相關(guān)分析的內(nèi)容及其假定 線性相關(guān)關(guān)系的測定 一、 相關(guān)圖表 二、 相關(guān)系數(shù) 回歸分析 一、 回歸分析概述 二、 一元線性回歸方程的擬合 三、 回歸分析的方差分析 四、 一元線性回歸模型的檢驗(yàn) 五、 對回歸分析結(jié)果的評價(jià) 六、 多元線性回歸分析 2022/2/16 5 相關(guān)關(guān)系概述 一、變量間的相互關(guān)系 （一） 函數(shù)關(guān)系 定義： 完全 確定的（數(shù)量）關(guān)系。 （ 1）某一（組）變量與另一變量間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系； [例 ]計(jì)件工資（ y）與產(chǎn)量（ x） ? y=f(x)=10x； x0=1件 ， y0=10元； x1=2件 ， y1=20元 圓的面積 S＝ ΠR2， R=10， S=100 Π （ 2） 表述： y=f(x)。 （二） 相關(guān)關(guān)系 １、定義 ： 不完全 確定的關(guān)系。 （ 1）某一（組）變量與另一變量間有關(guān)系，但并非 一一對應(yīng)； 2022/2/16 6 一、變量間的相互關(guān)系 [例 ]身高 y與體重 x； A： x=60kg、 y=170m； B： x=60kg、 y=； C： x=60kg、 y=； D： x=60kg、 y=。 （ 2）表述： y=f(x)+?。 影響身高的因素：體重、遺傳、鍛煉、睡眠質(zhì)量 …… 成因 （ 1）某些影響因素尚未被認(rèn)識；（ 2）雖已認(rèn)識但無法測量； （ 3）測量誤差。 [例 ]某種水果 P元 /斤： 購買額 ? y=Px ?購買量 x=2斤 ? y=2P+?=2 + 數(shù)量關(guān)系的形式 （ 1）單一因果關(guān)系 ；（ 2）互為因果關(guān)系 ；（ 3）伴隨關(guān)系 。 2022/2/16 7 二、相關(guān)關(guān)系的種類 （一）按相關(guān)的程度分 完全相關(guān)：函數(shù)關(guān)系； 不相關(guān)：沒有關(guān)系； 不完全相關(guān)。 （二）按相關(guān)的方向分 正相關(guān)：變量的變動(dòng)方向一致（ 同增同減 ）； 負(fù)相關(guān)：變量的變動(dòng)方向相反（ 一增一減 ）。 （三）按相關(guān)的形式分 線性相關(guān)； 非線性相關(guān)。 2022/2/16 8 二、相關(guān)關(guān)系的種類 ??????? ?? ? ????? ????? ???? ? ? ? ? ? ?相關(guān)程度密切 相關(guān)程度不密切 2022/2/16 9 二、相關(guān)關(guān)系的種類 （四）按影響因素的多少分 單（簡單）相關(guān) ：只有一個(gè)自變量； [例 ]學(xué)習(xí)成績與學(xué)習(xí)時(shí)間；血壓與年齡；畝產(chǎn)量與施肥量。 復(fù)（多元）相關(guān) ：兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量 ； [例 ]經(jīng)濟(jì)增長與人口增長、科技水平、自然資源、管理水平等之間的關(guān)系； 體重與身高、食欲、睡眠時(shí)間之間的關(guān)系。 偏相關(guān) ：就多個(gè)變量測定其中兩個(gè)變量的相關(guān)程度而假定其他變量不變。 [例 ]就 y=ax1+bx2+ ?，研究 y與 x1之間的關(guān)系，假定 x2不變 。 2022/2/16 10 1. 相關(guān)分析要解決的問題 – 變量之間是否存在關(guān)系 ？ – 如果存在關(guān)系 ， 它們之間是什么樣的關(guān)系 ？ – 變量之間的關(guān)系強(qiáng)度如何 ？ – 樣本所反映的變量之間的關(guān)系能否代表總體變量之間的關(guān)系 ？ 2. 為解決這些問題 ， 在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí) ， 對總體有以下兩個(gè)主要假定 – 兩個(gè)變量之間是線性關(guān)系 – 兩個(gè)變量都是隨機(jī)變量 三、相關(guān)分析的內(nèi)容及其假定 2022/2/16 11 線性相關(guān)關(guān)系的測定 [目的 ]測定變量間的 相關(guān)方向 與 密切程度 。 一、相關(guān)圖表 （一）相關(guān)表 單變量分組相關(guān)表 ：自變量分組且計(jì)算次數(shù)，因變量只計(jì)算平均數(shù)。 30 家同類企業(yè)的有關(guān)資料產(chǎn)量 （件） x 企業(yè)數(shù) 平均單位成本 （元） y20304050809556516 . 815 . 615 . 014 . 814 . 22022/2/16 12 一、相關(guān)圖表 雙變量分組相關(guān)表 ：對自變量與因變量均進(jìn)行分組。 注：自變量 ?X軸；因變量 ?Y軸。 30 家同類企業(yè)的有關(guān)資料產(chǎn)量 x （件）單位成本 y( 元 / 件 ) 20 30 40 50 80合計(jì)18161514441——32——131—132——1449107合計(jì) 9 5 5 6 5 302022/2/16 13 正 相 關(guān) 負(fù) 相 關(guān) 曲線相關(guān) 不 相 關(guān) x y x y x y x y 又稱 散點(diǎn)圖 ，用直角坐標(biāo)系的 x軸代表自變量， y軸代表因變量，將兩個(gè)變量間相對應(yīng)的變量值用坐標(biāo)點(diǎn)的形式描繪出來，用以表明相關(guān)點(diǎn)分布狀況的圖形。 一、相關(guān)圖表 [不足 ]難以精確反映相關(guān)的密切程度。 （二）相關(guān)圖 2022/2/16 14 二、相關(guān)系數(shù) 二、 (線性 )相關(guān)系數(shù) ※ （一） 積差法計(jì)算公式 則的一組樣本觀察值是設(shè) ,),(),( YXyx ii2 2 2 2( ) ( )( ) ( )1( ) ( ) ( ) ( )11x x y yx x y ynrx x y y x x y ynn? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ? ? ???( , ) ,( , ),xyxyC o v x y x yC o v x yr x y s s x yss????? ? ???的 協(xié) 方 差為 與 的 相 關(guān) 系 數(shù) 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差yyxxxyLLL?—— 在 線性相關(guān) 的條件下 ,用來反映變量之間相關(guān) 方向及程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo) ,用 r (ρ)表示。 2022/2/16 15 二、相關(guān)系數(shù) [注解 1] 協(xié)方差 Cov(x,y)的作用 顯示 x與 y之間的相關(guān)方向。 ??????XYyy ?xx ?)(一)(二)(三 )(四),( 11 yx),( nn yx( ) ( ) ( ) ( )() ( , ) 0 0()x x y yxx Cov x y ryy? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???一 三正 相 關(guān)( , )xyCo v x yrss?( ) ( )( , )1x x y yCo v x yn? ? ???[正相關(guān) ] 2022/2/16 16 二、相關(guān)系數(shù) [負(fù)相關(guān) ] ??????XYyy ?xx ? )(一)(二)(三 )(四),( 11 yx),( nn yx( ) ( ) ( ) ( )()( , ) 0 0()x x y yxxCo v x y ryy? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ???二 四負(fù) 相 關(guān)( ) ( )( , )1x x y yC o v x yn? ? ???yxxyr????2022/2/16 17 二、相關(guān)系數(shù) 顯示 x與 y之間的相關(guān)程度。 ????????????????????)()())(()()(yyxxAyyxx圖三一????????????????????密集分布圖 ?A 散亂分布圖 ?BXYPQ偏小偏大 ))(())(( qqppyyxx ???????[正相關(guān) ] 2022/2/16 18 二、相關(guān)系數(shù) [負(fù)相關(guān) ] ?????????????????????)()())(()()(yyxxAyyxx圖四二???????????????