【正文】 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 冪級(jí)數(shù) 三角級(jí)數(shù) 收 斂 半 徑 R 泰勒展開(kāi)式 數(shù)或函數(shù) 函 數(shù) 數(shù) 任 意 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 傅氏展開(kāi)式 傅氏級(jí)數(shù) 泰勒級(jí)數(shù) 0)( ?xRn為常數(shù)nu )( xuu nn 為函數(shù)滿(mǎn)足狄 氏條件 0xx ?取在收斂 級(jí)數(shù)與數(shù) 條件下 相互轉(zhuǎn)化 ???1nnu一、主要內(nèi)容 第十一章 習(xí)題課 ?? ?????????nnn uuuuu 3211常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 ( 發(fā)散 ) ? nn s??lim 存在 ( 不存在 ) .???????niinn uuuus121 ?級(jí)數(shù)的部分和 定義 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 性質(zhì) 2: 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù) ,斂散性不變 . 性質(zhì) 3:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減 . 性質(zhì) 4:在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性 . 性質(zhì) 5:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和 . .0lim ??? nn u級(jí)數(shù)收斂的必要條件 : 收斂級(jí)數(shù)的 基本性質(zhì) 性質(zhì) 1: 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 判別法 1. 2. (萊布尼茨定理 ) 。 。, 則級(jí)數(shù)收斂若 SS n ?。,0, 則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng) ??? nun常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法 定義 0,1 ????nnn uu.有界部分和所成的數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 ns?正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其判別法 判別法 (1) 比較判別法 若 ??? 1nnu 收斂 ( 發(fā)散 ) 且 )( nnnn vuuv ?? ,則 ??? 1nnv 收斂 ( 發(fā)散 ) .(2) 比較判別法的極限形式 設(shè) ??? 1nnu 與 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 如果 lvunnn???lim ,則 ( 1 ) 當(dāng) ???? l0 時(shí) , 二級(jí)數(shù)有相同的斂散性 。 ( 2 ) 當(dāng) 0?l 時(shí)，若 ??? 1nnv 收斂 , 則 ??? 1nnu 收斂 。 ( 3 ) 當(dāng)???l時(shí) , 若 ??? 1nnv 發(fā)散 , 則 ??? 1nnu 發(fā)散 。設(shè) ??? 1nnu 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,如果 0lim ????lnu nn ( 或 ????nnnulim ),則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 發(fā)散 。如果有 1?p , 使得 npnun??l i m 存在 ,則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 收斂 .(3) 極限 判別 法 (4) 比值 判別 法 ( 達(dá)朗貝爾 D ’ Alembert 判別法 ) 設(shè) ??? 1nnu 是正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 如果 )(l i m1 ????????數(shù)或nnn uu則 1?? 時(shí)級(jí)數(shù)收斂 。 1?? 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 。 1?? 時(shí)失效 .(5) 根值 判別 法 ( 柯西判別法 ) 設(shè) ??? 1nnu 是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,如果 ????nnnulim )( ??為數(shù)或? ,則 1?? 時(shí)級(jí)數(shù)收斂 。 1?? 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 。 1?? 時(shí)失效 .定義 正 、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù) . )1()1(111nnnnnn uu ??????? ?? 或萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件 :( ⅰ ) ),3,2,1(1????nuunn。( ⅱ ) 0lim ???nnu , 則級(jí)數(shù)收斂 , 且其和1us ? , 其余 項(xiàng)nr 的絕對(duì)值1??nnur .)0( ?nu其中交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其判別法 定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱(chēng)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù) . 定理 若 ??? 1nnu 收斂 , 則 ??? 1nnu 收斂 .定義 : 若 ??? 1nnu 收斂 , 則稱(chēng) ??? 0nnu 為 絕對(duì)收斂 。 若 ??? 1nnu 發(fā)散 , 而 ??? 1nnu 收斂 , 則稱(chēng) ??? 1nnu 為 條件收斂 . 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其判別法 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (1) 定義 設(shè) ?? ),(,),(),(21xuxuxun是定義在 RI ? 上的函數(shù) , 則 ?? ????????)()()()(211xuxuxuxunnn稱(chēng)為定義在區(qū)間 I 上的 ( 函數(shù)項(xiàng) ) 無(wú)窮級(jí)數(shù) .(2) 收斂點(diǎn)與收斂域 如果 Ix ?0 , 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? 10 )(nn xu 收斂 ,則稱(chēng) 0x 為級(jí)數(shù) )(1xunn???的 收斂點(diǎn) ,否則稱(chēng)為 發(fā)散點(diǎn) .所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為 發(fā)散域 .函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(1xunn???的所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為 收斂域 ,(3) 和函數(shù) 在收斂域上 , 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是 x 的函數(shù) )( xs ,稱(chēng) )( xs 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的 和函數(shù) .(1) 定義 形如 nnn xxa )(00???? 的級(jí)數(shù)稱(chēng)為 冪級(jí)數(shù) .,00 時(shí)當(dāng) ?x其中 na 為冪級(jí)數(shù)系數(shù) .冪級(jí)數(shù) nnn xa??? 0如果級(jí)數(shù) ??? 0nnnxa 在0xx ?處發(fā)散 , 則它在滿(mǎn)足 不等式0xx ?的一切 x 處發(fā)散 . 定理 1 ( Abel 定理 )如果級(jí)數(shù) ??? 0nnnxa 在 )0(00 ?? xxx處收斂 , 則 它在滿(mǎn)足不等式0xx ?的一切 x 處絕對(duì)收斂 。 (2) 收斂性 .原點(diǎn)為中心的對(duì)稱(chēng)區(qū)間冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是以如果冪級(jí)數(shù) ??? 0nnnxa 不是僅在 0?x 一點(diǎn)收斂 , 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂 , 則必有一個(gè)完全確定的正數(shù) R 存在 , 它具有下列性質(zhì) :當(dāng) Rx ? 時(shí) , 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 。當(dāng) Rx ? 時(shí) , 冪級(jí)數(shù)發(fā)散 。當(dāng) RxRx ??? 與 時(shí) , 冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .推論 .原點(diǎn)為中心的對(duì)稱(chēng)區(qū)間冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是以定義 : 正數(shù) R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的 收斂半徑 . 冪級(jí)數(shù)的收斂域，冪級(jí)數(shù)的 收斂區(qū)間 . 定理 2 如果冪級(jí)數(shù) ??? 0nnn xa 的所有系數(shù)0?na , 設(shè) ?????nnn aa 1lim ( 或 ????nnn al i m )( 1 ) 則當(dāng) 0?? 時(shí) ,??1R 。( 3 ) 當(dāng) ???? 時(shí) , 0?R .( 2 ) 當(dāng) 0?? 時(shí) , ???R 。 : 加減法 ???????00 nnnnnn xbxa .0????nnn xc(其中 ? ?21 ,m i n RRR ?)nnn bac ??? ?RRx ,??,2100RRxbxannnnnn 和的收斂半徑各為和設(shè) ??????(3)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 乘法 )()(00???????nnnnnn xbxa .0????nnn xc ? ?RRx ,??(其中 )0110 bababac nnnn ??????? ? ?除法 ??????00nnnnnnxbxa.0????nnn xc)0(0????nnn xb收斂域內(nèi) : 冪級(jí)數(shù) ??? 0nnnxa 的和函數(shù) )( xs 在收斂區(qū)間 ),( RR? 內(nèi) 連續(xù) , 在端點(diǎn)收斂 , 則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù) . 冪級(jí)數(shù) ??? 0nnn xa 的和函數(shù) )( xs 在收斂區(qū)間 ),( RR? 內(nèi) 可積 , 且對(duì) ),( RRx ??? 可逐項(xiàng)積分 . 冪級(jí)數(shù) ??? 0nnnxa 的和函數(shù) )( xs 在收斂區(qū)間 ),( RR? 內(nèi) 可導(dǎo) , 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次 . 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 如果 )( xf 在點(diǎn) 0x 處任意階可導(dǎo) , 則冪級(jí)數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)(????稱(chēng)為 )( xf 在點(diǎn) 0x 的 泰勒級(jí)數(shù) .nnnxnf??? 0)(!)0(稱(chēng)為 )( xf 在點(diǎn) 0?x 的 麥克勞林級(jí)數(shù) .(1) 定義 .! )0(!2 )0()0()0()()(2 ?? ????????? nnxnfxfxffxf?? ????????????nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)( )(!2)())(()()(00)(200000 定理 2 )( xf 在點(diǎn) 0x 的泰勒級(jí)數(shù) , 在 )( 0xU ? 內(nèi)收 斂于 )( xf ? 在 )( 0xU ? 內(nèi) 0)(lim ??? xR nn. (2) 充要條件 (3) 唯一性 定理 如果函數(shù) )( xf 在 )(0xU?內(nèi) 能 展開(kāi)成 )(0xx ?的冪級(jí)數(shù) , 即 nnnxxaxf )()(00?? ???,則其系數(shù) ),2,1,0()(!10)(??? nxfnann且展開(kāi)式是唯一的 .定理 3 設(shè) )( xf 在 )(0xU 上有定義 , 0?? M , 對(duì)),(00RxRxx ???? , 恒有 Mxfn?)()( ),2,1,0( ??n , 則 )( xf 在 ),(00RxRx ?? 內(nèi)可展 開(kāi)成點(diǎn) 0x 的泰勒級(jí)數(shù) . (3) 展開(kāi)方法 (泰勒級(jí)數(shù)法 ) 步驟 : 。! )()1( 0)(nxfa nn ?求,)(0lim)2( )( MxfR nnn ???