【正文】 重慶科技學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 題 目 高精度數(shù)值積分公式的構(gòu)造及其應(yīng)用 學(xué) 院 專業(yè)班級(jí) 指導(dǎo)教師 職稱 講師 評(píng)閱教師 職稱 年 月 日注 意 事 項(xiàng) （論文）的內(nèi)容包括： 1）封面（按教務(wù)處制定的標(biāo)準(zhǔn)封面格式制作）2）原創(chuàng)性聲明3）中文摘要（300字左右）、關(guān)鍵詞4）外文摘要、關(guān)鍵詞 5）目次頁(yè)（附件不統(tǒng)一編入）6）論文主體部分：引言（或緒論）、正文、結(jié)論7）參考文獻(xiàn)8）致謝9）附錄（對(duì)論文支持必要時(shí)）：理工類設(shè)計(jì)（論文）正文字?jǐn)?shù)不少于1萬(wàn)字（不包括圖紙、程序清單等）。：任務(wù)書(shū)、開(kāi)題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）。、圖表要求：1）文字通順，語(yǔ)言流暢，書(shū)寫(xiě)字跡工整，打印字體及大小符合要求，無(wú)錯(cuò)別字，不準(zhǔn)請(qǐng)他人代寫(xiě)2）工程設(shè)計(jì)類題目的圖紙，要求部分用尺規(guī)繪制，部分用計(jì)算機(jī)繪制，所有圖紙應(yīng)符合國(guó)家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書(shū)寫(xiě)，不準(zhǔn)用徒手畫(huà)3）畢業(yè)論文須用A4單面打印，論文50頁(yè)以上的雙面打印4）圖表應(yīng)繪制于無(wú)格子的頁(yè)面上5）軟件工程類課題應(yīng)有程序清單，并提供電子文檔1）設(shè)計(jì)（論文）2）附件：按照任務(wù)書(shū)、開(kāi)題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）次序裝訂3）其它學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明 本人以信譽(yù)聲明：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的設(shè)計(jì)（研究）工作及取得的成果，設(shè)計(jì)（論文）中引用他（她）人的文獻(xiàn)、數(shù)據(jù)、圖件、資料均已明確標(biāo)注出，論文中的結(jié)論和結(jié)果為本人獨(dú)立完成，不包含他人成果及為獲得重慶科技學(xué)院或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)而使用其材料。與我一同工作的同志對(duì)本設(shè)計(jì)（研究）所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）作者（簽字）： 年 月 日重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 摘要摘要求解函數(shù)在區(qū)間上的定積分時(shí)，如果被積函數(shù)在區(qū)間上原函數(shù)很難用初等函數(shù)表達(dá)，我們就不能夠借助牛頓萊布尼茲公式來(lái)計(jì)算此定積分。另外，許多實(shí)際問(wèn)題中的被積函數(shù)往往是列表函數(shù)或其他形式的非連續(xù)函數(shù)，顯然其原函數(shù)沒(méi)有意義，所以對(duì)這類函數(shù)的積分，也不能用經(jīng)典的不定積分方法求解。因此，數(shù)值積分的理論與方法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)研究的基本課題。
本文首先總結(jié)了數(shù)值積分的基本思想和幾類常用的數(shù)值積分方法，并且給出了數(shù)值積分穩(wěn)定的一般性條件。接著，我們基于文獻(xiàn)[10]提出了一個(gè)改進(jìn)的三點(diǎn)高斯公式，通過(guò)理論分析，此公式具有7次代數(shù)精度。最后，利用一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了我們提出公式相比文獻(xiàn)[10]的兩點(diǎn)高斯公式無(wú)論是在代數(shù)精度還是在數(shù)值精度方面都有較大提高。并將該公式應(yīng)用到2010年數(shù)學(xué)建模A題，取得了比較好的結(jié)果。關(guān)鍵詞: 數(shù)值積分方法 三點(diǎn)高斯公式 代數(shù)精度I重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) ABSTRACTABSTRACTIf the primitive function of integrand f(x) cannot be expressed by the elementary function in definite integral putation. We cannot calculate the definite integral by using NewtonLeibniz formula. In real world, integrand is often list function or other forms of discontinuous function in many practical problems. For this kind of function of definite integral，its primary function is obviously unmeaningful。 it cannot use the indefinite integral method to solve. Therefore, the theory and method of numerical integration is always the putational mathematics basic topic.This paper first summarizes the basic ideas of numerical integration and some mon numerical integration formates, in addition, represents the general stability condition of numerical integration. Next, we propose an improvement twopoint gaussian formula based on the literature [10]. It has seventime algebraic precision essentially. Finally, the experimental results are represented, which indicate that our numerical format is superior in algebraic precision and numerical precision pared to the threepoint Gaussian formula in [10] and some of the other classical numerical format. and the formula is applied to the 2010 mathematical modeling problem A, achieved good results.Keywords: Numerical integral method ；Threepoint gauss formula ；Algebra precisionII重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 目錄目錄摘要 IABSTRACT II1緒論 12數(shù)值積分的計(jì)算方法 2 數(shù)值積分的基本思想與評(píng)價(jià)指標(biāo) 2 幾種常用數(shù)值積分方法 5 插值型求積公式 5 NewtonCotes公式 6 復(fù)合求積公式 8 逐次分半技術(shù)與Romberg公式 9 Gauss型求積公式 10 GaussLegendre求積公式 13 GaussChebyshev求積公式 143改進(jìn)三點(diǎn)Gauss公式 16 16 數(shù)值算例 17 2010年數(shù)學(xué)建模A題求解 184 結(jié)束語(yǔ) 28參考文獻(xiàn) 29致謝 30附錄 31重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 1 緒論1緒論數(shù)值積分是求定積分的近似值的數(shù)值方法。即用被積函數(shù)的有限個(gè)抽樣值的加權(quán)平均近似值代替定積分的值。數(shù)值積分是計(jì)算方法或數(shù)值分析課程中非常重要的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)值積分方法也是解決實(shí)際計(jì)算問(wèn)題的重要方法。我們知道計(jì)算定積分是采用牛頓—萊布尼茲(NewtonLeibniz)公式：但由于其適用范圍有限，不能普遍適用，因此有其局限性。所有說(shuō)牛頓—萊布尼茲公式不是萬(wàn)能的，而數(shù)值積分公式卻具備這種良好的性質(zhì)。只要數(shù)值積分構(gòu)造得當(dāng)，就能很好的計(jì)算出某個(gè)定積分的近似值。以下羅列出牛頓—萊布尼茲公式不適用的三種情況：(1) 的解析式?jīng)]有給出，只給出了的一些離散點(diǎn)。(2) 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，如：。(3)原函數(shù)表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜，計(jì)算十分不便。由于以上原因，數(shù)值積分的理論與方法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)研究的基本課題。對(duì)微積分學(xué)作出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)大師，如牛頓、歐拉、高斯等人也在數(shù)值積分這個(gè)領(lǐng)域作出了各自的貢獻(xiàn)，并奠定了它的理論基礎(chǔ)。數(shù)值積分還是微分方程數(shù)值解法的重要依據(jù)。許多重要公式都可以用數(shù)值積分方程導(dǎo)出。因此，數(shù)值積分的理論與方法還是其他學(xué)科的理論依據(jù)。由于數(shù)值積分是求解定積分近似值的數(shù)值方法，所以它的意義在于能夠求出定積分的近似值。而定積分又具有廣泛應(yīng)用，它幾乎是所有課程的公共基礎(chǔ)課。以下列舉了它的一部分應(yīng)用： 計(jì)算圖形面積、曲線弧長(zhǎng)、立體圖像體積。 在力學(xué)中的應(yīng)用，計(jì)算力做的功、位移、能量等作用。 在電學(xué)中的應(yīng)用，計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)差、電壓等作用。 利用定積分證明不等式。由于定積分的應(yīng)用廣泛，作用巨大，而高精度數(shù)值積分是計(jì)算定積分近似值的良好數(shù)值方法。由此可以看出構(gòu)造高精度數(shù)值積分公式是十分必要的。由于高精度數(shù)值積分具有計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確、代數(shù)精度高、使用方便、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)。因此，探討高精度數(shù)值積分的構(gòu)造及其應(yīng)用具有明顯的實(shí)際意義。37重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 2 數(shù)值積分的計(jì)算方法 2數(shù)值積分的計(jì)算方法 數(shù)值積分的基本思想與評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)于數(shù)值積分法的思想來(lái)源于定積分的定義，即其中，一般的提法是:用在點(diǎn)處的函數(shù)值的線性組合作為積分的近似值，即 ()并稱此為數(shù)值求積公式，也稱為機(jī)械求積公式。形如： 為求積公式()的余項(xiàng)或誤差，及分別稱為求積公式()的求積節(jié)點(diǎn)及求積系數(shù)，這里求積系數(shù)只與積分區(qū)間有關(guān)，而與無(wú)關(guān)。為保證機(jī)械求積公式的精度, 自然希望它對(duì)盡可能多的簡(jiǎn)單函數(shù)是準(zhǔn)確成立的，如果要求它對(duì)一切不超過(guò)次多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立, 而對(duì)次多項(xiàng)式不一定準(zhǔn)確成立。則得到關(guān)于系數(shù)的階線性方程組：由于系數(shù)行列式為范德蒙德行列式,其值不為零,則解是唯一確定的。定義1 如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立