中心極限定理及其意義(已修改)
2025-01-29 22:41 本頁面
【正文】 題目：中心極限定理及意義課 程 名 稱： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 專 業(yè) 班 級(jí)： 成 員 組 成： 聯(lián) 系 方 式： 2012年5月25日摘要：本文從隨機(jī)變量序列的各種收斂與他們的關(guān)系談起，通過對(duì)概率經(jīng)典定理——中心極限定理在獨(dú)立同分布和不同分布兩種條件下的結(jié)論做了比較系統(tǒng)的闡述，揭示了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)——平均結(jié)果的穩(wěn)定性。經(jīng)過對(duì)中心極限定理的討論，給出了獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布用正態(tài)分布來表示的理論依據(jù)。同樣中心極限定理的內(nèi)容也從獨(dú)立分布與獨(dú)立不同分布兩個(gè)角度來研究。同時(shí)通過很多相關(guān)的正反例題，進(jìn)行說明這些定理所給出的條件是否是充要條件；簽掉在實(shí)際問題中靈活的應(yīng)用和辨別是否服從我們給出的定理?xiàng)l件。最后了解一些簡(jiǎn)單簡(jiǎn)便的中心極限定理在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、管理決策、僅是計(jì)算以及保險(xiǎn)業(yè)務(wù)等方面的應(yīng)用，來進(jìn)一步的闡明了中心極限定理分支學(xué)課中的中重要作用和應(yīng)用價(jià)值。關(guān)鍵詞：隨機(jī)變量，獨(dú)立隨機(jī)變量，特征函數(shù)，中心極限定理引言： 在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量，他們是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因數(shù)的綜合影響所形成的，而其中每一個(gè)別因數(shù)在總的影響中所起的作用都是渺小的，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布，這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景。中心極限定理自提出至今，其內(nèi)容已經(jīng)非常豐富。在概率論中，把研究在什么條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的這一類定理稱為中心極限定理。但其中最常見、最基本的兩個(gè)定理是德莫佛拉普拉斯中心極限定理和林德貝格勒維中心極限定理。一、三個(gè)重要的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從統(tǒng)一分布，具有數(shù)學(xué)期望和方差，則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量，的分布函數(shù)對(duì)于任意滿足， 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差，記 ． 若存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化量化，的分布函數(shù)對(duì)于任意滿足，—拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意，有二、中心極限定理的意義： 首先，中心極限定理的核心內(nèi)容是只要n足夠大，便可以把獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和的標(biāo)準(zhǔn)化當(dāng)作正態(tài)變量，所以可以利用它解決很多實(shí)際問題，同時(shí)這還有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí)，從而正態(tài)分布成為概率論中最重要的分布，這就奠定了中心極限定理的首要功績(jī)。其次，中心極限定理對(duì)于其他學(xué)科都有著重要作用。例如數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的參數(shù)（區(qū)間）估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、抽樣調(diào)查等；進(jìn)一步，中心極限定理為數(shù)理統(tǒng)計(jì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關(guān)鍵在于掌握樣本特征值的抽樣分布，而中心極限定理表明只要樣本容量足夠地大，得知未知總體的樣本特征值就近似服從正態(tài)分布。從而，只要采用大量觀察法獲得足夠多的隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，幾乎就可以把數(shù)理統(tǒng)計(jì)的全部處理問題的方法應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)，這從另一個(gè)方面也間接地開辟了統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法領(lǐng)域，其在現(xiàn)代推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)方法論中居于主導(dǎo)地
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