競賽培訓(xùn)講稿1隨機模型與假設(shè)檢驗(已修改)
2025-01-25 05:12 本頁面
【正文】 20220718 1 隨機性模型選講 理學(xué)院 數(shù)學(xué)教研部 鄭繼明 Email: 20220718 2 Outline 1. 簡單的隨機性模型 2. 報童的賣報問題 3. 傳染病的隨機感染 4. 為什么航空公司要超訂機票 5. 假設(shè)檢驗 my教案 20220718 3 按建模時：確定性因素 ? 隨機性因素 ? 隨機因素可以忽略 (隨機因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn) ) 隨機因素影響必須考慮 概率模型 統(tǒng)計回歸模型 馬氏鏈模型 數(shù)學(xué)模型分類 確定性模型 隨機性模型 20220718 4 167。 1 簡單的隨機性模型 取球問題 問題： 盒中放有 12個乒乓球，其中有9個是新的，第一次比賽時從盒中任取 3個，用后仍放回盒中，第二次比賽時再從盒中任取 3個，求第二次取出的球都是新球的概率。 20220718 5 分析： 第二次取球是在第一次比賽之后，所以當?shù)诙稳∏驎r盒中就不一定有 9個新球了，因為第一次用的 3個球可能有 0、 3個新球，所以第二次全取新球直接受這四種可能性的影響，可用 全概率公式 求解。 設(shè) A表示“第二次取出的球都是新球”的事件； （ i＝ 0,1,2,3）表示“第一次比賽時用了 i個新球” iB則得： 312339)(CCCBp iii??| Ap(31239)CCB ii ??于是由全概率公式 ApBpApii ()()(30???| )iB 1 3 02 54 41 ??20220718 6 電能供應(yīng)問題 問題： 某車間有耗電為 5KW的機床 10臺，每臺機床使用時是各自獨立地且間隙地工作，平均每臺每小時工作 12min。該車間配電設(shè)備的容量為 32KW，求該車間配電設(shè)備超載的概率。 20220718 7 分析： 每臺耗電量為 5KW，而配電設(shè)備容量為 32KW，顯然，有七臺或七臺以上的機床同時工作時，設(shè)備會發(fā)生超載現(xiàn)象。下面求出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率。 觀察 10臺完全相同的機床在同一時刻的工作情況與觀察一臺機床在 10個時刻的工作情況是一樣的。我們關(guān)心的問題是 機床是否正在工作 。 對于任一時刻，機床要么工作，要么不工作，只有兩個結(jié)果，而 10臺機床的工作是相互獨立的，每臺機床正在工作的概率相同且 ，這是 貝努利概型 . 516012 ??ip20220718 8 由二項分布知，“在同一時刻不少于七臺機床同時工作”的概率 )51,10,10()51,10,9()51,10,8()51,10,7( BBBBp ????kkkkC ???? ? 1010710 )511()51( 0 0 0 8 ?注： 該車間設(shè)備超載的可能性 (概率 )是非常小的。 20220718 9 客車停站問題 問題： 一輛送客汽車載有 20位乘客從起點站開出，沿途有 10個車站可以下車，若到達一個車站沒有乘客下車就不停車，設(shè)每位乘客在每一個車站下車是等可能的，試求汽車平均停車次數(shù)。 20220718 10 設(shè)隨機變量 X表示停車次數(shù) 則 ???101iiXX 因為每位乘客在每一車站下車是等可能的，所以每一位乘客在第 i站不下車的概率為 ， 10910,2,101 ?????? iiiXi 站無人下車第站有人下車第記 所以 20)109(1}1{ ???iXp 20)109(}0{ ??iXp20220718 11 202020 )109(1])109(1[1)109(0)( ???????iXE從而得汽車 平均停車次數(shù)： ])10 9(1[)()()(20221101101??????????iiiii XEXEXE])109(1[10 20 ???20220718 12 蒲豐投針問題 問題： 平面上畫有等距離為 的一些平行線，向此平面任投一長為 的針，試求此針與任一平行線相交的概率。 )0( ?aa)( all ?以 M表示針落下后的中點 , x表示 M到最近一條平行線的距離， 表示針與平行線的交角， 如圖 ?20220718 13 分析： 有兩種可能 (針與這些平行線中的某一根相交，或都不相交。 ) 沒有理由認為這兩種可能性是一樣大的。 用 幾何概率 去解決。 基本事件區(qū)域 ????????????020:ax其 面積 為： 2)(?aL ??20220718 14 ????????????0s i n20:lxA 而 A的面積為 , ldlAL ?? ? ??? s i n2)(0針與平行線相交的充要條件是 故所求概率為 ?? alalAALp221)()(????下面用 MATLAB求解 20220718 15 注： rand(n)=rand(n,n) rand(m,n) ? 生成一個滿足均勻分布的 m ? n 隨機矩陣，矩陣的每個元素都在 (0,1) 之間。 隨機函數(shù) round(x) : 四舍五入取整 取整函數(shù) ? 試驗方法 ? 先設(shè)定進行試驗的總次數(shù) ? 采用循環(huán)結(jié)構(gòu)，統(tǒng)計 指定事件 發(fā)生的次數(shù) ? 計算該事件發(fā)生次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值 MATLAB相關(guān)知識 20220718 16 ? 隨機投擲均勻硬幣，驗證國徽朝上與朝下的概率是否都是 1/2 (穩(wěn)定性 ) n=10000。 % 給定試驗次數(shù) m=0。 for i=1:n x=randperm(2)1。 y=x(1)。 if y==0 % 0 表示國徽朝上， 1 表示國徽朝下 m=m+1。 end end fprintf(39。國徽朝上的頻率為 ： %f\n39。,m/n)。 試驗一：投擲硬幣 20220718 17 ? 設(shè)某班有 m 個學(xué)生，則該班至少有兩人同一天生日的概率是多少？ 試驗二：生日問題 解 ： 設(shè)一年為 365 天，且某一個學(xué)生的生日出現(xiàn)在一年中的每一天都是等可能的，則班上任意兩個學(xué)生的生日都不相同的概率為： 36513 6 5 !3 6 5 ( 3 6 5 ) ! 3 6 5mmmPpm????所以，至少有兩個學(xué)生同一天生日的概率為： 11pp??20220718 18 n=1000。 p=0。 m=50。 % 設(shè)該班的人數(shù)為 50 for t=1:n a=[]。 q=0。 for k=1:m b=randperm(365)。 a=[a,b(1)]。 end c=unique(a)。 if length(a)~=length(c) p=p+1。 end end fprintf(39。任 兩人不在同一天生日的 頻率 為 ： %f\n39。,1p/n)。 試驗二源程序 2
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