【正文】 第四章 連續(xù)型隨機變量的 參數(shù)估計與檢驗 ? 第一節(jié) 參數(shù)估計 ? 第二節(jié) 假設檢驗 ? 第三節(jié) 單個正態(tài)總體的參數(shù)檢驗 ? 第四節(jié) 兩個正態(tài)總體的參數(shù)檢驗 一、點估計及其性質 估計量： 設 為總體 X的一個未知參數(shù)，統(tǒng)計量 稱為 的估計量。 ?? ?1? ? , nXX???? 通過一次具體抽樣值 ，估計 參數(shù) 取值的方法稱為參數(shù)的點估計問題。 12, nx x x? 一個待估參數(shù) ，可以有幾個不同的估計量， 這就引出了如何衡量估計量好壞的標準。 ?? ?1? , nxx? 稱為 的估計值。 ?無偏性 定義 若 ，則 稱為 的無偏估計量。 ?E??? ?? ?結論 設總體為 X，有 ， ， 為取自 X的樣本，則 、 分別為 的無偏估計量。 2,??2SEX ?? 2DX ??12, , , nX X XX即 EX ?? 22ES ??注意 :S不是 的無偏估計量 ,只是 的一個估計量 . ? ?2 2 211nnnE S E Snn ?????有效性 例 1 設 為取自總體Ｘ的樣本，且 ， 。問： 是否為 的無偏估計量 ？ 和 哪個更有效？ ?1 2 3,X X X EX ??2DX ??1 1 2 31 1 1?3 3 3X X X? ? ? ?和 2 1 2 31 2 4?7 7 7X X X? ? ? ?由證明得知，總體均數(shù) 和方差 的有效估計 量分別為 和 。 ?2?X 2S定義 設 和 均為未知參數(shù) 的無偏估計量， 若 ，則稱 比 有效。 1??2?? ?1?? 2??12? ?DD???1?? 2??1 1 2 3 1 2 31 1 1 1 1 1?3 3 3 3 3 3E E X X X E X E X E X? ??? ? ? ? ? ?????解： 133 ??? ? ?2 1 2 3 1 2 31 2 4 1 2 4?7 7 7 7 7 7E E X X X E X E X E X???? ? ? ? ? ?????133 ??? ? ?所以 和 都是 的無偏估計量，由此可 知一個未知參數(shù)的無偏估計量不是唯一的。 1?? 2???1 1 2 3 1 2 31 1 1 1 1 1?3 3 3 9 9 9D D X X X D X D X D X???? ? ? ? ? ?????2213 0 .3 39??? ? ?一致性 結論： 和 分別是總體均數(shù) 和 的一致 估計量。 ?2?X 2S定義 設 為 的估計量，若對 ，有 則稱 為 的一致估計量 ,即 ?? ? 0???? ??l im 1n P ? ? ??? ? ? ??? ? ? P???2 1 2 3 1 2 31 2 4 1 4 1 6?7 7 7 4 9 4 9 4 9D D X X X D X D X D X???? ? ? ? ? ?????2221 0 . 4 349 ????因為 ，故 比 有效 12? ?DD??? 1??2??定義 設總體 X含有未知參數(shù) θ ,α ∈(0,1) P(θ1θθ2)＝ 1－ α 區(qū)間 (θ1,θ2) 稱為置信度為 1－ α的參數(shù) θ的置信區(qū)間 ,α稱為顯著水平 二、區(qū)間估計概念 說明 : 稱為顯著性水平 ,一般取 、 、 。 ?(θ1,θ2)是一個隨機區(qū)間。對于某次試驗所得到的 確切區(qū)間，它可能包含 的真值，也可能不包含。 包含 θ 在內的概率為 1－ α。 ?臨界值 : 設 X是服從某種分布的連續(xù)型隨機變量 , 若對給定的實數(shù) , 有 ,則 稱為這種分布的 上側臨 界值 (或上側分位數(shù) )。 01???? ?P X x ? ??? x? 如果 X的概率密度函數(shù)是對稱曲線，則對給定的實數(shù) ，就存在相應的 雙側臨界值 01???2P X x ? ?????????2x?使得 2u?例如，標準正態(tài)分布的上側臨界值記為 ，雙側 臨界值為 u? 單個正態(tài)總體均數(shù) 的區(qū)間估計 設總體 X～ N(μ,σ2) ， 是從 X中抽出來的樣本 三、正態(tài)總體均數(shù)的區(qū)間估計 12, , ..., nX X X? ?~ 0 , 1/XuNn?????2 0 20. 20. 40. 410ex2?22 ?33? x)(xf2?ux2?u?2?2?（ 1） 已知 2?? ? ?? ??2|| uuP? ?2| | 1P u u ? ?? ? ? ?? ? ? ???????????? 1/ 2unXP可查表得 ?u ?u ?u???? ?? ?????????? ?????? 122 nuXnuXP???????? ????nuXnuX????22,得 已知時， 的置信度為 的置信區(qū)間 或 2Xun??????????2? ? 1 ??例 2 傷寒論用桂枝 39張?zhí)幏?,桂枝用量服從 σ=3g的正態(tài)分布 ,根據(jù)樣本均數(shù) ,顯著水平 ,估計桂枝用量 μ的置信區(qū)間 解： μ 的置信度 38 .1 4 1 .9 639????????＝ (， )g （ 2） 未知 ?? ? ???????????? 12tnSXP???????? ????nStXnStX22, ?? 2SXtn?????????f＝ n－ 1 2?選取樣本函數(shù) ~ ( 1 )Xt t nSn????2P t t ? ????????? 21P t t ? ???? ? ?????得 的置信度為 的置信區(qū)間為 或 ? 1 ??例 3 逍遙丸崩解時間服從正態(tài)分布 ,從同一批號隨機抽取 5丸測得崩解時間為 21,18,20,16,15(min),求該批藥丸崩解時間總體均數(shù)置信度為 。 解：由計算得 n=5, =18,S=, f=51=4