參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(2)(已修改)
2025-05-28 13:35 本頁面
【正文】 第四章 連續(xù)型隨機(jī)變量的 參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn) ? 第一節(jié) 參數(shù)估計(jì) ? 第二節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn) ? 第三節(jié) 單個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn) ? 第四節(jié) 兩個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn) 一、點(diǎn)估計(jì)及其性質(zhì) 估計(jì)量： 設(shè) 為總體 X的一個(gè)未知參數(shù)，統(tǒng)計(jì)量 稱為 的估計(jì)量。 ?? ?1? ? , nXX???? 通過一次具體抽樣值 ，估計(jì) 參數(shù) 取值的方法稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題。 12, nx x x? 一個(gè)待估參數(shù) ，可以有幾個(gè)不同的估計(jì)量， 這就引出了如何衡量估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)。 ?? ?1? , nxx? 稱為 的估計(jì)值。 ?無偏性 定義 若 ，則 稱為 的無偏估計(jì)量。 ?E??? ?? ?結(jié)論 設(shè)總體為 X，有 ， ， 為取自 X的樣本，則 、 分別為 的無偏估計(jì)量。 2,??2SEX ?? 2DX ??12, , , nX X XX即 EX ?? 22ES ??注意 :S不是 的無偏估計(jì)量 ,只是 的一個(gè)估計(jì)量 . ? ?2 2 211nnnE S E Snn ?????有效性 例 1 設(shè) 為取自總體Ｘ的樣本，且 ， 。問： 是否為 的無偏估計(jì)量 ？ 和 哪個(gè)更有效？ ?1 2 3,X X X EX ??2DX ??1 1 2 31 1 1?3 3 3X X X? ? ? ?和 2 1 2 31 2 4?7 7 7X X X? ? ? ?由證明得知，總體均數(shù) 和方差 的有效估計(jì) 量分別為 和 。 ?2?X 2S定義 設(shè) 和 均為未知參數(shù) 的無偏估計(jì)量， 若 ，則稱 比 有效。 1??2?? ?1?? 2??12? ?DD???1?? 2??1 1 2 3 1 2 31 1 1 1 1 1?3 3 3 3 3 3E E X X X E X E X E X? ??? ? ? ? ? ?????解： 133 ??? ? ?2 1 2 3 1 2 31 2 4 1 2 4?7 7 7 7 7 7E E X X X E X E X E X???? ? ? ? ? ?????133 ??? ? ?所以 和 都是 的無偏估計(jì)量，由此可 知一個(gè)未知參數(shù)的無偏估計(jì)量不是唯一的。 1?? 2???1 1 2 3 1 2 31 1 1 1 1 1?3 3 3 9 9 9D D X X X D X D X D X???? ? ? ? ? ?????2213 0 .3 39??? ? ?一致性 結(jié)論： 和 分別是總體均數(shù) 和 的一致 估計(jì)量。 ?2?X 2S定義 設(shè) 為 的估計(jì)量，若對(duì) ，有 則稱 為 的一致估計(jì)量 ,即 ?? ? 0???? ??l im 1n P ? ? ??? ? ? ??? ? ? P???2 1 2 3 1 2 31 2 4 1 4 1 6?7 7 7 4 9 4 9 4 9D D X X X D X D X D X???? ? ? ? ? ?????2221 0 . 4 349 ????因?yàn)? ，故 比 有效 12? ?DD??? 1??2??定義 設(shè)總體 X含有未知參數(shù) θ ,α ∈(0,1) P(θ1θθ2)＝ 1－ α 區(qū)間 (θ1,θ2) 稱為置信度為 1－ α的參數(shù) θ的置信區(qū)間 ,α稱為顯著水平 二、區(qū)間估計(jì)概念 說明 : 稱為顯著性水平 ,一般取 、 、 。 ?(θ1,θ2)是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間。對(duì)于某次試驗(yàn)所得到的 確切區(qū)間，它可能包含 的真值，也可能不包含。 包含 θ 在內(nèi)的概率為 1－ α。 ?臨界值 : 設(shè) X是服從某種分布的連續(xù)型隨機(jī)變量 , 若對(duì)給定的實(shí)數(shù) , 有 ,則 稱為這種分布的 上側(cè)臨 界值 (或上側(cè)分位數(shù) )。 01???? ?P X x ? ??? x? 如果 X的概率密度函數(shù)是對(duì)稱曲線，則對(duì)給定的實(shí)數(shù) ，就存在相應(yīng)的 雙側(cè)臨界值 01???2P X x ? ?????????2x?使得 2u?例如，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)臨界值記為 ，雙側(cè) 臨界值為 u? 單個(gè)正態(tài)總體均數(shù) 的區(qū)間估計(jì) 設(shè)總體 X～ N(μ,σ2) ， 是從 X中抽出來的樣本 三、正態(tài)總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì) 12, , ..., nX X X? ?~ 0 , 1/XuNn?????2 0 20. 20. 40. 410ex2?22 ?33? x)(xf2?ux2?u?2?2?（ 1） 已知 2?? ? ?? ??2|| uuP? ?2| | 1P u u ? ?? ? ? ?? ? ? ???????????? 1/ 2unXP可查表得 ?u ?u ?u???? ?? ?????????? ?????? 122 nuXnuXP???????? ????nuXnuX????22,得 已知時(shí)， 的置信度為 的置信區(qū)間 或 2Xun??????????2? ? 1 ??例 2 傷寒論用桂枝 39張?zhí)幏?,桂枝用量服從 σ=3g的正態(tài)分布 ,根據(jù)樣本均數(shù) ,顯著水平 ,估計(jì)桂枝用量 μ的置信區(qū)間 解： μ 的置信度 38 .1 4 1 .9 639????????＝ (， )g （ 2） 未知 ?? ? ???????????? 12tnSXP???????? ????nStXnStX22, ?? 2SXtn?????????f＝ n－ 1 2?選取樣本函數(shù) ~ ( 1 )Xt t nSn????2P t t ? ????????? 21P t t ? ???? ? ?????得 的置信度為 的置信區(qū)間為 或 ? 1 ??例 3 逍遙丸崩解時(shí)間服從正態(tài)分布 ,從同一批號(hào)隨機(jī)抽取 5丸測得崩解時(shí)間為 21,18,20,16,15(min),求該批藥丸崩解時(shí)間總體均數(shù)置信度為 。 解：由計(jì)算得 n=5, =18,S=, f=51=4
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