【正文】 ： ● 知識(shí)提要 方程是含有未知數(shù)的等式。 ①從算式到方程 （ 1）一元一次方程 概念：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是 1，這樣 的方程叫做一元一次方程。 ax+b=0（ a≠ 0）是一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式． 歸納： 實(shí)際問題 →（設(shè)未知數(shù) 列方程）→ 一元一次方程 分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的一種方法。 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。 （ 2）等式的性質(zhì) 等式的性質(zhì) 1 等式兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式 。 如果 a=b，那么 a177。 c=b177。 c 等式的性質(zhì) 2 等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能為 0），所得 結(jié)果仍是等式。 如果 a=b，那么 ac=bc 如果 a=b（ c≠ 0） ，那么 = 對稱性：等式的左右兩邊交換位置，結(jié)果仍是等式。若 a=b，則 b=a。 傳遞性：如果 a=b，且 b=c，那么 a=c，這一性質(zhì)叫等量代換。 ②解一元一次方程 合并同類項(xiàng)與移項(xiàng) 去括號與去分母 （ 1） 移項(xiàng)的有關(guān)概念： 把方程中的某一項(xiàng)改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，叫做移項(xiàng)。這個(gè)法則是根據(jù)等式的性 質(zhì) 1 推出來的，是解方程的依據(jù)。要明白移項(xiàng)就是根據(jù)解方程變形的需要，把某一項(xiàng)從方程的左邊移到右邊或從右邊移到左邊，移動(dòng)的項(xiàng)一定要變號。 （ 2） 解一元一次方程的步驟： 解一元一次方程的步驟 主要依據(jù) 注意問題 去分母 等式的性質(zhì) 2 注意拿這個(gè)最小公倍數(shù)乘遍方程的每一項(xiàng)，切記不可漏乘某一項(xiàng)，分母是小數(shù)的，要先利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，把分母化為整數(shù)，若分子是代數(shù)式，則必加括號。 去括號 去括號法則、乘法分配律 嚴(yán)格執(zhí)行去括號的法則，若是數(shù)乘括號，切記不漏乘括號內(nèi)的項(xiàng)，減號后去括號，括號內(nèi)各項(xiàng)的符號一定要變號 。 移項(xiàng) 等式的性質(zhì) 1 越過“ =”的叫移項(xiàng)，屬移項(xiàng)者必變號；未移項(xiàng)的項(xiàng)不變號，注意不遺漏 ,移項(xiàng)時(shí)把含未知數(shù)的項(xiàng)移在左邊，已知數(shù)移在右邊，書寫時(shí)，先寫不移動(dòng)的項(xiàng)，把移動(dòng)過來的項(xiàng)改變符號寫在后面。 合并同類項(xiàng) 合并同類項(xiàng)法則 注意在合并時(shí)，僅將系數(shù)加到了一起，而字母及其指數(shù)均不改變。 系數(shù)化為 1 等式的性質(zhì) 2 兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，記住未知數(shù)的系數(shù)永遠(yuǎn)是分母（除數(shù)），切不可分子、分母顛倒。 檢驗(yàn) （ 3）用一元一次方程分析和解決實(shí)際問題的基本過程： 實(shí)際問題 →（設(shè)未知數(shù)178。列方程 ）→ 數(shù)學(xué)問題（一元一次方程） →（解方程178。一般步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為）→ 數(shù)學(xué)問題的解（ x=a） →（檢驗(yàn)）→實(shí)際問題的答案 ←實(shí)際問題 ③實(shí)際問題與一元一次方程 列方程解應(yīng)用題 ： ： （ 1）將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題； （ 2）分析問題中的已知量和未知量，找出等量關(guān)系； （審：弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系；找：找出能夠表示實(shí)際問題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系，這是解題的關(guān)鍵） （ 3）設(shè)未知數(shù)，列出方程； （設(shè)：用字母表示其中適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；列：對上述相等關(guān)系中涉及的量，列出必要 的代數(shù)式，從而列出方程） （ 4）解方程； （解：解所列方程，得到未知數(shù)的值） （ 5）檢驗(yàn)并作答。 （答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案，注意不要忘記些單位。） ： （ 1）日歷上數(shù)字排列的規(guī)律是：橫行每整行排列 7 個(gè)連續(xù)的數(shù)，豎列中，下面的數(shù)比上面的數(shù)大 7。日歷上的數(shù)字范圍是在 1 到 31 之間，不能超出這個(gè)范圍。 （ 2）幾種常用的面積公式： 長方形面積公式： S=ab， a 為長， b 為寬， S 為面積；正方形面積公式： S = a2， a 為邊長， S為面積； 梯形面積公式： S = ， a， b 為上下底邊 長， h 為梯形的高， S 為梯形面積； 圓形的面積公式： ， r 為圓的半徑， S 為圓的面積； 三角形面積公式： ， a 為三角形的一邊長， h 為這一邊上的高， S 為三角形的面積。 （ 3）幾種常用的周長公式： 長方形的周長： L=2（ a+b）， a， b 為長方形的長和寬， L 為周長。 正方形的周長： L=4a， a 為正方形的邊長， L 為周長。 圓： L=2π r， r 為半徑， L 為周長。 （ 4）柱體的體積等于底面積乘以高，當(dāng)休積不變時(shí)，底面越大，高度就越低。所以等積變化的相等關(guān)系一般為：變形前的體積 =變形后的體積。 （體積變化問題：抓住兩個(gè)關(guān)鍵，一是形變體不變；二是形變體變質(zhì)量不變。） （ 5）打折銷售這類題型的等量關(guān)系是：利潤 =售價(jià) –成本。 利潤率 =商品利潤 ／ 商品進(jìn)價(jià) （ 6）行程問題中關(guān)建的等量關(guān)系：路程 =速度179。時(shí)間，以及由此導(dǎo)出的其化關(guān)系。 （ 7）在一些復(fù)雜問題中，可以借助表格分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系，找出若干個(gè)較直接的等量關(guān)系，借此列出方程，列表可幫助我們分析各量之間的相互關(guān)系。 （ 8）在行程問題中，可將題目中的數(shù)字語言用“線段圖”表達(dá)出來，分析問題中的數(shù)量關(guān)系，從而找出等量關(guān)系 ，列出方程。 （ 9）關(guān)于儲(chǔ)蓄中的一些概念： 本金：顧客存入銀行的錢；利息：銀行給顧客的酬金；本息：本金與利息的和；期數(shù)：存入的時(shí)間；利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)利息與本金的比；利息 =本金179。利率179。期數(shù)；本息 =本金 +利息。 （ 10）數(shù)學(xué)問題：抓住數(shù)字間，或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系，常需設(shè)間接未知數(shù)，通常把數(shù)abc 表示成 a179。 100+b179。 10+c 的形式。 ● 經(jīng)典例題 ① 一個(gè)三位數(shù)，百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)大 1，個(gè)位上的數(shù)字比十位上數(shù)字的 3 倍少 2．若將三個(gè)數(shù)字順序顛倒后，所得的三位數(shù)與原三位數(shù)的和是 1171，求這個(gè)三位數(shù)． 解：設(shè)十 位上的數(shù)字為 x，則個(gè)位上的數(shù)字為 3x2，百位上的數(shù)字為 x+1，故 100（ x+1） +10x+（ 3x2） +100（ 3x2） +10x+（ x+1） =1171 解得 x=3 ② 一天卡爾點(diǎn)了兩支蠟燭讀書，這兩支蠟燭的長度相同，但粗細(xì)不同。已知粗蠟燭可點(diǎn) 5小時(shí)，細(xì)蠟燭點(diǎn) 4 小時(shí)。臨睡時(shí)吹滅，這時(shí)所剩粗蠟燭長度正好是細(xì)蠟燭的四倍，問這兩支蠟燭已點(diǎn)了多少小時(shí)？ 解： 設(shè)已點(diǎn) x 小時(shí)，總長為 a（輔助元），可列方程 aa/5 乘 x=4（ aa247。 4 乘 x） 把 a 消了， =4x,所以 =3 x= ③ （ 2020，黃岡市）關(guān)于 x 的一元一次方程（ k2－ 1） xk－ 1+（ k－ 1） x－ 8=0 的解為 _____． 【分析】由一元一次方程的定義可知，原方程是一元一次方程，則有兩種情況， ①當(dāng) k－ 1=1，即 k=2 時(shí)，原方程 3x+x－ 8=0，解之得 x=2 ②當(dāng) k2－ 1=0且 k－ 1≠ 0 時(shí)，也就是當(dāng)k=－ 1 時(shí)，原方程化為－ 2x－ 8=0，解之得 x=－ 4，所以原方程的解為 x=2 或 x=－ 4， 故答案為 x=2 或 x=－ 4． ： ● 知識(shí)提要 △ 二元一次方程的解是無數(shù)個(gè)； 一元一次方程的解只有一個(gè)。 問題要求的是兩個(gè) 未知數(shù)，如果用一元一次方程來解決，列方程時(shí)，要用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)。 ①二元一次方程組 （ 1）概念： 含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1 的 整式 方程叫做二元一次方程。 （ 含有兩個(gè)未知數(shù)的方程叫做二元方程 ,如果二元方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次的 ,那么這個(gè)方程就叫做二元一次方程 .）其一般形式是 ax+by=c（ a、 b、 c 都是常數(shù)，且 a≠ 0， b≠ 0）。 說明 : 。 “一次 ”是指含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù) ,而不是未知數(shù)的次數(shù) ,如 xy 中未知數(shù) x、 y 都是一次 的 ,但 xy 這一項(xiàng)是二次的 . 重點(diǎn)提示 ：一個(gè)方程是二元一次方程的條件有三個(gè)，即： ； 1； 。 （ 2）二元一次方程組： 兩個(gè)結(jié)合在一起的共含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程，叫二元一次方程組。 說明 : ,不能多于兩個(gè) ,也不一定要求每個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù) ,比如 , 兩個(gè)方程共含有三個(gè)未知數(shù) 就不是二元一次方程組 。 . 重點(diǎn)提示 ：事實(shí)上，若含有兩個(gè)未知數(shù)的 n 個(gè)一次 方程組成的一組方程，都是二元一次方程組，如 {x+y=3， y=2x， x=1 是一個(gè)二元一次方程組。 （ 3） 二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。 說明 : ,一個(gè)二元一次方程有無數(shù)多個(gè)解 ,但如果對其未知數(shù)的取值附加某些限制條件 ,那么也可能只有有限個(gè)解 。 ,都是一對數(shù)值 . 重點(diǎn)提示 ：二元一次方程的解有無窮多個(gè)。 （ 4） 二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個(gè)公共解，叫做二元一次方程組的解。 重點(diǎn)提示 ：判斷一組數(shù)是不是一個(gè)二元一次方程 組的解，就是看這組數(shù)是否適合每個(gè)方程，若適合每個(gè)方程就是方程的解，否則就不是方程組的解。 ②消元 （ 1） 消元：將方程組中的未知數(shù)個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決。 （ 2） 一般解法 消元的解法有兩種： （簡稱代入法）： 通過 “代入 （把二元一次方程組中的一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元） ”消去一個(gè)未知數(shù)，從而求出方程組的解的方法叫做代入消元法 。 （簡稱加減法）：兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加減，就能消去這個(gè) 未知數(shù)，得到一個(gè)一元