【正文】 1 《電磁場與電磁波基礎(chǔ)教程》 （符果行編著）習(xí)題解答 第 1 章 解 ： （ 1） ? ? 22 2 2 21 2 3 1 4x y zA A A? ? ? ? ? ? ? ?A， ? ?24 1 1 7? ? ? ?B ， ? ?225 2 29? ? ? ?C ； （ 2） ? ? ? ? ? ?1 1 12 3 4 5 21 4 1 7 2 9A x y z B y z C x z? ? ? ? ? ? ? ?， ， ；Aa a a a a a a a a aA （ 3） ? ? ? ? 22+ 2 4 3 1 2 2 1 ( 2 ) ( 2 ) 3x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， = ；A B a a a a a a A B （ 4） ? ? ? ?2 3 4 1 1x y z y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ；A B a a a a a （ 5） ? ? ? ?2 3 4 1 0 4x y z y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ；A B a a a a a a a a （ 6） ? ? ? ? ? ?1 0 4 5 2 4 2x y z x z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ；A B C a a a a a （ 7） ? ? ? ? ? ?x21 0 4 5 2 2 4 0 5x y z x z y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A B C a a a a a a a a。 解 ： 12c o s 6 8 . 5 61078???? ? ? ?， ；ABAB A 在 B 上的投影 12c o s 1 4 1 . 3 71078BAA ?? ? ? ?； B 在 A 上的投影 12c o s 6 7 3 . 2 11078ABB ?? ? ? ?。 解 ： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 2 6 4 2 8 0? ? ? ? ? ? ? 正 交AB 。 解 ： 1 1 1 0x x y y z z x y y z z y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ； ；a a a a a a a a a a a a 0x x y y z z? ? ? ? ? ? ；a a a a a ax y z y z x z x y? ? ? ? ? ?； ，a a a a a a a a。 解 ： （ 1） 1 1 1 0 0 0z z z z? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ； ， ，a a a a a a a a a a a a；0 0 0z z z z z? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ； ， ，a a a a a a a a a a a a a a a。 2 （ 2） 1 1 1 0 0 0r r r r? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ； ， ，a a a a a a a a a a a a； 0 0 0r r r r r? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ； ， ，a a a a a a a a a a a a a a a。 解 ： ? ?2 2 223x y z x z zy x y z y zx y z? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?a a a a a a在點(diǎn)（ 2， 1， 1）處 ? ?2 1 1 33x y z ll?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， ， ； Aa a a a A ? ? ? ?113 3 2 233x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? a a a a a a。 解 ：? ?22 1 2 1 4x y z x y z x y zyzx y z? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ， ，a a a a a a a a a。 解 ： ? ? ? ? ? ? 1 1 1 3x y zx y z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?r。 解 ： 對(duì) zz????r a a 取 散 度， ? ?1 3zz??????? ? ? ? ? ?r，對(duì) rr?ra取 散 度，? ?221 3rrrr?? ? ? ? ??r ，看出對(duì)同一位置矢量 r 取 散 度不論選取什么坐標(biāo)系都應(yīng)得同一值， 坐標(biāo)系的選取只是表示形式不同而已。 解 ： 1100zc c cz? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?1， =B a aB，由亥姆霍茲定理判定這是載流源在無源區(qū) ( 0)??GJ 產(chǎn)生的無 散 場。 解 ： 1100zccz? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ，E a a E，由亥姆霍茲定理判定這是電荷源在無源區(qū) ? ?0gq?? 產(chǎn)生的無旋場；將 0?? ?E 與恒等式 ( ) 0u?? ? ? 對(duì)比，可知E 與 177。u? 等效，令標(biāo)量位 u?? 得 ????E 。 解 ： F 滿足無旋場的條件為 0?? ?F ，在直角坐標(biāo)系中表示為 ? ? 03 2 xzx y zy az bx z c y z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?ya a a 解得 a=0， b=3 和 c=2。 3 解 ： ? ? ? ?22 20x y x yxy??? ? ? ? ? ? ，F(xiàn)? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 22 2 4x y z zx y x y x y x y yz z x y??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???F a a a a 由亥姆霍茲定理判定 知， 這是屬于第三類的無 散 有旋場。 解 ： 取22 2 2 2 21 1 1 1: 0 0s inr C C c crr r r r r r r r??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?， =F a F F a a，屬 于第一類的無 散 無旋場，由無 旋 性可以引入標(biāo)量位的梯度來表示； 取 2221r c c crr r r r r? ??? ? ? ? ? ???? ??: ，F(xiàn) a F 1 1 1 0s in rccr r r r? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?F a a，屬于第二類的有 散 無旋場 ，由無旋性可以引入標(biāo)量位的梯度來表示 ； 取 1:0s inccr r r? ??? ??? ? ? ? ???? ?? ，F(xiàn) a F 1 1 1s ins inr c c crrr r r r r r r r????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?F a a a2 cotr cr ??a ，屬于第三類的無 散 有旋場。 4 第 2 章 解 ： q3受到 q1和 q2的作用力應(yīng)當(dāng)?shù)戎捣聪?，所?3q 應(yīng)位于 1q 和 2q 的 連 線上某點(diǎn)處。由庫 侖 定律和 13 23FF? ， 可寫為 ? ?11 3 2 3 12 2 2 21 3 2 3 1 3 2 32 qq q q q qKKr r r r??， 故 23 ? ； 又 13 r x?? 解得13 ??。 解 ： 在圖中 z 軸上線元 dz? 處電荷元 dl z? ? 可視為點(diǎn)電荷，它與場點(diǎn) P 的距離為 R，由庫侖定律知，離導(dǎo)線為 ? 處場點(diǎn) P的電場強(qiáng)度為對(duì) 20dd cos4 l zE R? ? ??? ?? 在22?????????， 范圍 內(nèi)對(duì) ? 取積分。由圖可知secR ??? ， tanz ??? 和 2d sec dz ? ? ?? ，得 0cosdd4 lE? ? ? ??? ?? 2200c o s d42llE ?? ??????? ? ?? ????? ，02l? ??? ??Ea 。 解 ： 圓環(huán)上線元 dl? 處電荷元 dd 2 lqqa??? 可視為點(diǎn)電荷，它與圓環(huán)軸線上場點(diǎn) P 的距離為22R a z??，由軸對(duì)稱性知場點(diǎn) P 的電場強(qiáng)度只有 z分量，由庫侖定律知 ? ? 32 22 200d 1 dd c o s4 4 2z q q l zE Ra az?? ? ? ? ? ????? ???? ? 由圖知式中 ? 為 dE 與 dzE 的夾角。對(duì)圓環(huán)取積分得 ? ? ? ?332 2 2 2220221 , 44zzq z q zE a z a z? ? ? ?????故 Ea 圓環(huán)面中心點(diǎn)處 0z? 知 0?E ，這是由于具有軸對(duì)稱的電場強(qiáng)度不僅其徑向分量等值反向，相互抵消，且在 0z? 處無軸向分量。 z d z ′ z ′ R P ? ? E? o z dE z dE dE ? ? P R z a ? o d l 5 解 ： 利用習(xí)題 的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算。取盤上半徑為 ?? ，寬度為 d?? 的圓環(huán)，環(huán)上電荷密度為 dlS? ? ??? 。該圓環(huán)在軸上點(diǎn) P 產(chǎn)生的電場，由于對(duì)稱性， ? 分量相互抵消為零，只有 z 分量 ? ?322 20 dd 2 Sz zE z? ? ?????? ? ? 對(duì)整個(gè)圓面積分 ? ? ? ? ? ?3 1 10 2 2 2 222 2220 0 00d1 12 2 2aaS S SzzEz a zz? ? ???? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ???? ? ? ?? ? ? ?? 故 ? ? 122 20 12 Sz zaz???????????Ea。 若 S? 保持不變， 當(dāng) 0a? 時(shí)，有 0?E ； 當(dāng) a?? 時(shí)，有 a?? ，有02S???E 。 解 ： 對(duì)于球?qū)ΨQ分布，應(yīng)用高斯定理 001ddSSq S???? ? ???209。ES 在區(qū)域 r＜ a : 100S? ??， E ； 在區(qū)域 a＜ r＜ b : 22210144Sr E a? ? ???， 2 12 20 Sr a r???Ea； 在區(qū)域 r＞ b : ? ?2 2 23 1 2022 4 4SSr E a b? ? ? ? ????， ? ?223 1 2201r S Sabr ?????Ea。 解 ： 對(duì)于柱對(duì)稱分布，應(yīng)用高斯定理 01ddS S SES??????209。 S 在區(qū)域 ? ＜ 1: 0 0Sa ? ??， E ； 在區(qū)域 a ＜ ? ＜ 112 002: 2 SSaab ??? ? ??? ? ? ???E a a； 在區(qū)域 ? ＞ ? ?12 123 002: 2 SS SSab abb ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ???E a a。 6 解 ： 對(duì)于無限大面電荷分布，其電場垂直于無限大平面，具有面對(duì)稱分布 ， 應(yīng)用高斯定理時(shí)可跨平面作矩 形 盒高斯面，得 ? ? 0 Szz SE E S ???? 在區(qū)域 z＞ 0：02Sz???Ea ； 在區(qū)域 z＜ 0：02Sz ????Ea。 解 ： 兩無限長電流的磁場分布分別具有軸對(duì)稱分布，應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，得 在 y=a 處，1 2z Ia??Ha； 在 y=a 處，2 2x Ia??Ha。 故在 坐標(biāo)原點(diǎn)處 ? ? ? ? 00 1 2 2zx Ia?? ?? ? ? ?B H H a a。 解 ： 對(duì)于軸對(duì)稱分布，應(yīng)用安培環(huán)路定理 0dS I???? 209。Bl 在區(qū)域 ? ＜ 1:0a ?B ； 在區(qū)域 a ≤ ? ≤ ? ? ? ?2222: S Ib I J aba ?? ?????? ? ??， ? ?? ?2202 222Iaba????????Ba； 在區(qū)域 ? ＞ 03: 2 Ib ? ????Ba。 解 ： 已知 sinmBt? ??Ba 和 nab?Sa ， 磁通為 1d s in d s in c o s d s in 22m n m mS S SB t S B t t S a b B t?? ? ? ? ?? ?