【正文】 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題 2022B “眼科病床的合理安排” 沈陽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)系 2 “眼科病床的合理安排”賽題 醫(yī)院就醫(yī)排隊(duì)是大家都非常熟悉的現(xiàn)象，它以這樣或那樣的形式出現(xiàn)在我們面前，例如，患者到門診就診、到收費(fèi)處劃價(jià)、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊(duì)等待接受某種服務(wù)。 我們考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學(xué)建模問題。 該醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床 79張。該醫(yī)院眼科手術(shù)主要分四大類：白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷 。 附錄中給出了 2022年 7月 13日至 2022年 9月 11日這段時(shí)間里各類病人的情況。 白內(nèi)障手術(shù)較簡(jiǎn)單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內(nèi)障手術(shù)，此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間只需 2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到 60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時(shí)立即安排住院，住院后第二天便會(huì)安排手術(shù)。 其他眼科疾病比較復(fù)雜，有各種不同情況，但大致住院以后 23天內(nèi)就可以接受手術(shù)，主要是術(shù)后的觀察時(shí)間較長。這類疾病手術(shù)時(shí)間可根據(jù)需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數(shù)量較少，建模時(shí)這些眼科疾病可不考慮急癥。 該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在考慮病床安排時(shí)可不考慮手術(shù)條件的限制，但考慮到手術(shù)醫(yī)生的安排問題，通常情況下白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天做。當(dāng)前該住院部對(duì)全體非急癥病人是按照 FCFS（ First e, First serve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊(duì)列卻越來越長，醫(yī)院方面希望你們能通過數(shù)學(xué)建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對(duì)醫(yī)院資源的有效利用。 3 “眼科病床的合理安排”賽題 ? 問題一：試分析確定合理的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，用以評(píng)價(jià)該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。 ? 問題二：試就該住院部當(dāng)前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院。并對(duì)你們的模型利用問題一中的指標(biāo)體系作出評(píng)價(jià)。 ? 問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時(shí)能住院。能否根據(jù)當(dāng)時(shí)住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計(jì)情況，在病人門診時(shí)即告知其大致入住時(shí)間區(qū)間。 ? 問題四：若該住院部周六、周日不安排手術(shù)，請(qǐng)你們重新回答問題二，醫(yī)院的手術(shù)時(shí)間安排是否應(yīng)作出相應(yīng)調(diào)整 ? ? 問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間（含等待入院及住院時(shí)間）最短的病床比例分配模型。 4 模型的假設(shè)與符號(hào)說明 ? 假設(shè) 1：題目所給數(shù)據(jù)是合理、正確的 ? 假設(shè) 2：視網(wǎng)膜與青光眼兩類病不考慮急癥 ? 假設(shè) 3：白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天 ? 假設(shè) 4：該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在安排病床時(shí)不考慮手術(shù)條件的限制 ? 假設(shè) 5：對(duì)于問題四，假定周六和周日可安排外傷手術(shù)，但不能安排其他手術(shù) 5 模型的假設(shè)與符號(hào)說明 符號(hào) 符號(hào)說明 ( )( )qT i j 患第i類病的第j個(gè)病人的等待入院時(shí)間 ( )( )gT i j 患第i類病的第j個(gè)病人的術(shù)前的準(zhǔn)備時(shí)間 ( )( )fT i j 患第i類病的第j個(gè)病人的住院時(shí)間 NO 平均每天出院人數(shù) qT 手術(shù)前的平均逗留時(shí)間，即從門診到第一次手術(shù)的平均時(shí)間 gT 病人的平均術(shù)前的準(zhǔn)備時(shí)間 fT 病人的平均住院時(shí)間 ( )( )hT i j 患第i類病的第j個(gè)病人的入院時(shí)間（( ) ( ) 1 , 2 , 3 ,hT i j ?，( ) ( ) 1hT i j ?表示 2022年 7 月 13 日，( ) ( ) 2hT i j ?表示 2022 年 7 月 14 日，依此類推??） ( )( )oT i j 患第i類病的第j個(gè)病人的手術(shù)時(shí)間（( )( )oT i j的計(jì)數(shù)方式與( )( )hT i j相同，即( ) ( ) 1oT i j ?表示 2022 年 7 月 13 日，( ) ( ) 2oT i j ?表示 2022 年 7 月 14 日，依此類推??） 6 模型的假設(shè)與符號(hào)說明 ()ni 一段時(shí)間內(nèi)到門診看病的第i 類病人的人數(shù) ( )( )N i j 第j天 第 i 類病人的 在院人數(shù)（不包括當(dāng)天新入院的人數(shù)） ( )( )N I i j 第j天 第 i 類病人的新入院人數(shù) ( ) ( )N O i j 第j天 第 i 類病人的出院人數(shù) ()i? 第i 類病人平均每天到門診看病的人數(shù) ()Ci 分配給第i 類病人的病床數(shù)，單位為張 % 求余符號(hào)，等價(jià)于 mod 第 i =1 類病表示白內(nèi)障（單眼）疾病，第 i =2 類病表示白內(nèi)障（雙眼）疾病， 第 i =3 類病表示視網(wǎng)膜疾病，第 i =4 類病表示青光眼疾病，第 i =5 類病 表示外傷疾病 7 問題分析（ 1） 此題研究的是某醫(yī)院眼科病床合理安排的數(shù)學(xué)建模問題 。 要對(duì)病床進(jìn)行合理的安排 ， 就要有合理的安排規(guī)則 ， 尤其是在醫(yī)院病床不夠的時(shí)候 。 當(dāng)前該住院部對(duì)全體非急癥病人是按照 FCFS（ First e, First serve） 規(guī)則安排住院 ， 這樣雖然對(duì)病人很公平 ， 但缺乏合理性 ， 例如根據(jù) FCFS原則 ， 白內(nèi)障雙眼的病人可能會(huì)在星期二入院 ， 但醫(yī)院規(guī)定“ 白內(nèi)障雙眼的患者在星期一做一只眼 ， 在星期三做另一只眼 ” ， 所以該患者的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間就變?yōu)?6天 ， 而一般情況下 ， 白內(nèi)障患者的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間只需 2天；這樣的情況會(huì)延遲其它類病人的入院時(shí)間 ， 進(jìn)而使得病人隊(duì)列越來越長 。 8 問題分析（ 2） 在病床不夠的情況下 ， 從醫(yī)院的角度講 ，醫(yī)院自然希望在多做手術(shù)的同時(shí) ， 減小病人占用病床的時(shí)間 。 為了得到合理的安排規(guī)則 ，首先要確定合理的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系 ， 用此評(píng)價(jià)按該規(guī)則建立的病床安排模型的優(yōu)劣 。 9 問題分析（ 3） 針對(duì)問題一：從病人的角度看 ， 病人到醫(yī)院看病分為以下幾個(gè)階段 :掛號(hào)看病時(shí)間即 門診時(shí)間 ， 入院 ， 手術(shù)前的 準(zhǔn)備 ，手術(shù) ， 手術(shù)后的觀察 ， 出院 。 合理的安排就是讓病人從掛號(hào)看病到出院的時(shí)間盡量的短 。 但根據(jù)實(shí)際情況知病人的術(shù)后觀察時(shí)間是由病情決定的 ， 故所建立的模型只能縮短門診看病到接受手術(shù)的時(shí)間間隔即病人手術(shù)前的逗留時(shí)間 ， 所以模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)可以是病人手術(shù)前的平均逗留時(shí)間 ， 平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間 。 從醫(yī)院的角度看 ， 我們可以將病床的 周轉(zhuǎn)次數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo) 。 由于病床的周轉(zhuǎn)次數(shù)與醫(yī)院每天出院人數(shù)是密切相關(guān)的 ——在病床不夠的情況下 ， 醫(yī)院每天出院的人數(shù)越多 ， 能夠入院的病人就越多 ， 病床周轉(zhuǎn)次數(shù)就越多 ， 醫(yī)院的效益就越好 。 所以 ， 綜合考慮病人和醫(yī)院的利益 ， 我們把病人手術(shù)前的 平均逗留時(shí)間 ， 平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間 ， 平均每天出院人數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo) ， 當(dāng)前兩個(gè)指標(biāo)值越小 ， 最后一個(gè)指標(biāo)值越大的時(shí)候 ， 病床安排模型越好 。 10 問題分析（ 4） 針對(duì)問題二：在確定病人入院規(guī)則時(shí) ， 要考慮以下幾點(diǎn) :白內(nèi)障病人只能安排在周一與周三做手術(shù) ，而其它病人除外傷病人外不能在周一和周三做手術(shù) ，還有不同的病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間不一樣；使得建立的入院規(guī)則能夠讓病人的等待時(shí)間盡量短 ， 這就可以縮短病人在醫(yī)院的時(shí)間 ， 亦可縮短病人從門診到入院的時(shí)間 。 再對(duì)題給數(shù)據(jù)進(jìn)行分析 ， 得出各類病人到門診看病的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 ， 然后就可以以問題一的評(píng)價(jià)指標(biāo)作目標(biāo)函數(shù) ， 以安排病人入院規(guī)則為約束建 立 一 個(gè) 病 床 安 排 的 多 目 標(biāo) 最 優(yōu) 化 模 型 。 11 問題分析（ 5） 針對(duì)問題三：根據(jù)各類病人的統(tǒng)計(jì)結(jié)果 ，可得出每天有多少人患病以及患什么病 ， 找出其分布規(guī)律 ， 然后根據(jù)