【正文】 專項 (十二 ) 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題 類型 1 探究圖形面積的數(shù)量關系及最值問題 1． (2022安徽 )如圖 ， 二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx 的圖象經(jīng)過點 A(2， 4)與 B(6， 0)． (1)求 a， b 的值； (2)點 C 是該二次函數(shù)圖象上 A， B 兩點之間的一動點 ， 橫坐標為 x(2＜ x＜ 6)．寫出四邊形 OACB 的面積 S 關于點 C的橫坐標 x 的函數(shù)解析式 ， 并求 S 的最大值． 解： (1)將 A(2， 4)與 B(6， 0)代入 y＝ ax2＋ ?????4a＋ 2b＝ 4，36a＋ 6b＝ 0. 解得?????a＝－ 12，b＝ 3. (2)過點 A 作 x 軸的垂線 ， 垂足為 D(2， 0)， 連接 CD， 過點 C 作 CE⊥ AD， CF⊥ x 軸 ， 垂足分別為點 E， F. S△ OAD＝ 12ODAD＝ 12 2 4＝ 4， S△ ACD＝ 12ADCE＝ 12 4 (x－ 2)＝ 2x－ 4， S△ BCD＝ 12BDCF＝ 12 4 (－ 12x2＋ 3x)＝－ x2＋ 6x， 則 S＝ S△ OAD＋ S△ ACD＋ S△ BCD＝ 4＋ (2x－ 4)＋ (－ x2＋ 6x)＝－ x2＋ 8x. ∴ S 關于 x 的函數(shù)解析式為 S＝－ x2＋ 8x(2＜ x＜ 6)． ∵ S＝－ (x－ 4)2＋ 16. ∴ 當 x＝ 4 時 ， 四邊形 OACB 的面積 S 取最大值 ， 最大值為 16. 2． (2022雅安中學一診 )如圖 ， 已知拋物線 y＝ ax2－ 32x＋ c 與 x 軸相交于 A， B 兩點 ， 并與直線 y＝ 12x－ 2 交于 B， C兩點 ， 其中點 C 是直線 y＝ 12x－ 2 與 y 軸的交點 ， 連接 AC. (1)求拋物線解析式； (2)求證： △ ABC 為直角三角形； (3)在拋物線 CB 段上存在點 P 使得以 A， C， P， B 為頂點的四邊形面積最大 ， 請求出點 P 的坐標以及此時以 A， C，P， B 為頂點的四邊形面積． 解： (1)∵ 直線 y＝ 12x－ 2 交 x 軸 ， y 軸于 B， C 兩點 ， ∴ B(4， 0)， C(0， － 2)． ∵ y＝ ax2－ 32x＋ c 經(jīng)過點 B， C， ∴?????16a－ 6＋ c＝ 0，c＝－ 2. 解得 ?????a＝ 12，c＝－ 2. ∴ y＝ 12x2－ 32x－ 2. (2)令 12x2－ 32x－ 2＝ 0， 解得 x1＝－ 1， x2＝ 4. ∴ OA＝ 1， OB＝ 4.∴ AB＝ 5. ∴ AC2＝ OA2＋ OC2＝ 5， BC2＝ OC2＋ OB2＝ 20， AB2＝ 25. ∴ AC2＋ BC2＝ AB2. ∴△ ABC 為直角三角形． (3)連接 CD， BD， 過點 P 作 PE⊥ AB， 垂足為點 E， 直線 EP 交線段 BC 于點 D. 設直線 BC 的解析式為 y＝ kx＋ b. ∵ 將 B(4， 0)， C(0， － 2)代入 ， 得 ?????b＝－ 2，4k＋ b＝ ?????k＝ 12，b＝－ 2. ∴ 直線 BC 的解析式為 y＝ 12x－ 2. 設點 D(a， 12a－ 2)， 則點 P(a， 12a2－ 32a－ 2)． ∵ PD＝ PE－ DE＝－ 12a2＋ 32a＋ 2＋ (12a－ 2)＝－ 12a2＋ 2a， ∴ 當 a＝ 2 時 ， PD 有最大值 ， PD 的最大值為 2. ∵ S 四邊形 ACPB＝ S△ ACB＋ S△ CBP＝ 12ABOC＋ 12OBDP＝ 12 5 2＋ 12 4DP＝ 5＋ 2PD. ∴ 當 PD 最大時 ， 四邊形 ACPB 的面積最大． ∴ 當點 P 的坐標為 (2， － 3)時 ， 四邊形 ACPB 的面積的最大值為 5＋ 2 2＝ 9. 3． (2022攀枝花 )如圖 ， 已知拋物線 y＝－ x2＋ bx＋ c 與 x 軸交于 A(－ 1， 0)， B(3， 0)兩點 ， 與 y 軸交于點 C， 拋物線的對稱軸與拋物線交于點 P， 與直線 BC 相交于點 M， 連接 PB. (1)求拋物線的解析式； (2)在 (1)中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在 點 D， 使得 △ BCD 的面積最大？若存在 ， 求出點 D 坐標及 △ BCD 面積的最大值；若不存在 ， 請說明理由； (3)在 (1)中的拋物線上是否存在點 Q， 使得 △ QMB 與 △ PMB 的面積相等？若存在 ， 求出點 Q 的坐標；若不存在 ，請說明理由． 解： (1)把 A， B 兩點坐標代入拋物線解析式 ， 得 ?????－ 1－ b＋ c＝ 0，－ 9＋ 3b＋ c＝ 0. 解得 ?????b＝ 2，c＝ 3. ∴ 拋物線解析式為 y＝－ x2＋ 2x＋ 3. (2)設 D(t， － t2＋ 2t＋ 3)， 過點 D 作 DH⊥ x 軸于點 H， 連接 DC， D B. 令 x＝ 0， 則 y＝ 3， ∴ C(0， 3)． S△ BCD＝ S 梯形 DCOH＋ S△ BDH－ S△ BOC ＝ 12(－ t2＋ 2t＋ 3＋ 3)t＋ 12(3－ t)(－ t2＋ 2t＋ 3)－ 12 3 3 ＝－ 32t2＋ 92t. ∵ － 32＜ 0， ∴ 當 t＝－922 （－ 32）＝ 32時 ， 即 點 D 坐標為 (32， 154 )時 ， S△ BCD有最大值 ， 且最大面積為 278 . (3)存在． ∵ P(1， 4)， 過點 P 且與 BC 平行的直線與拋物線的交點即為所求 Q 點之一 ， ∵ 直線 BC 解析式為為 y＝－ x＋ 3， ∴ 過點 P 且與 BC 平行的直線為 y＝－ x＋ 5. 由 ???y＝－ x＋ 5，y＝－ x2＋ 2x＋ 3， 解 得 ?????x＝ 2，y＝ 3. ∴ Q1(2， 3)． ∵ 直 線 PM 的解析式為 x＝ 1， 直線 BC 的解析式 y＝－ x＋ 3， ∴ M(1， 2)． 設 PM 與 x 軸交于點 E， ∵ PM＝ EM＝ 2， ∴ 過點 E 且與 BC 平行的直線為 y＝－ x＋ 1. 從而過點 E 且與 BC 平行的直線與拋物線的交點也為所求 Q 點之一． 聯(lián)立 ???y＝－ x＋ 1，y＝－ x2＋ 2x＋ 3， 解得?????x1＝ 3＋ 172 ，y1＝－ 1＋ 172 ， ?????x2＝ 3－ 172 ，y2＝－ 1－ 172 . ∴ Q2(3＋ 172 ， － 1＋ 172 )， Q3(3－ 172 ， － 1－ 172 )． ∴ 滿足條件的 Q 點坐標為 (2， 3)， (3＋ 172 ， － 1＋ 172 )或 (3－ 172 ， － 1－ 172 )． 類型 2 探 究線段的數(shù)量關系及最值問題 4． (2022成都青羊區(qū)二診改編 )已知拋物線 y＝ 1ax2＋ (2a－ 1)x－ 2(a＞ 0)與 x 軸交于 A， B 兩點 ， 與 y 軸相交于點 C，且點 A 在點 B 的左側． (1)若拋物線過點 D(2， － 2)， 求實數(shù) a 的值； (2)在 (1)的條件下 ， 在拋物線的對稱軸上找一點 E， 使 AE＋ CE 最小 ， 求出點 E 的坐標． 解： (1)∵ 拋物線過點 D(2， － 2)， ∴ 1a 4＋ (2a－ 1) 2－ 2＝－ 2， 解得 a＝ 4. (2)∵ 點 A， B 是拋物線與 x 軸的交點 ， ∴ 點 B 是點 A 關于拋物線對稱軸的對稱點． ∴ 連接 BC 交對稱軸于點 E， 則點 E 即為使 AE＋ CE 最 小的點． ∵ a＝ 4， ∴ 拋物線解析式為 y＝ 14x2－ 12x－ 2. 令 y＝ 0， 則 14x2－ 12x－ 2＝ 0， 解得 x1＝－ 2， x2＝ 4. 令 x＝ 0， 則 y＝－ 2. ∴ A(－ 2， 0)， B(4， 0)， C(0， － 2)， 對稱軸為直 線 x＝ 1. ∴ 直線 BC 解析式為 y＝ 12x－ 2. ∵ 當 x＝ 1 時 ， y＝－ 32， ∴ E(1， － 32)． 5． (2022南充 )已知拋物線 y＝－ x2＋ bx＋ c 與 x 軸交于點 A(m－ 2， 0)和 B(2m＋ 1， 0)(點 A 在點 B 的左側 )， 與 y 軸相交于點 C， 頂點為 P， 對稱軸為 l： x＝ 1. (1)求拋物線解析式； (2)直線 y＝ kx＋ 2(k≠ 0)與拋物線相交于兩點 M(x1， y1)， N(x2， y2)(x1x