【正文】 2)， 當(dāng) |x1－ x2|最小時(shí) ， 求拋物線與直線的交點(diǎn) M 和 N 的坐標(biāo)； (3)首尾順次連接點(diǎn) O， B， P， C 構(gòu)成多邊形的周長(zhǎng)為 OB 在 x 軸上移動(dòng) ， 求 L 最小時(shí)點(diǎn) O， B 移動(dòng)后的坐標(biāo)及 L 的最小值． 解： (1)由題意 ， 得－ b2 （－ 1） ＝ 1， ∴ b＝ 2. ∵ 拋物線 y＝－ x2＋ bx＋ c 與 x 軸交于點(diǎn) A(m－ 2， 0)和 B(2m＋ 1， 0)， ∴ － x2＋ bx＋ c＝ 0 的解為 m－ 2 和 2m＋ 1. ∴ (m－ 2)＋ (2m＋ 1)＝ b， (m－ 2)(2m＋ 1)＝－ c. ∴ m＝ 1， c＝ 3. ∴ 拋物線解析式為 y＝－ x2＋ 2x＋ 3. (2)聯(lián)立?????y＝ kx＋ 2，y＝－ x2＋ 2x＋ 3得 x2＋ (k－ 2)x－ 1＝ 0. ∴ x1＋ x2＝－ (k－ 2)， x1x2＝－ 1， ∴ (x1－ x2)2＝ (x1＋ x2)2－ 4x1x2＝ (k－ 2)2＋ 4. ∴ 當(dāng) k＝ 2 時(shí) ， (x1－ x2)2的最小值為 4， 即 |x1－ x2|的最小值為 2. ∴?????x1＋ x2＝ 0，x1x2＝－ 1. 解得 x1＝－ 1， x2＝ 1， 則 y1＝ 0， y2＝ 4. ∴ 當(dāng) |x1－ x2|最小時(shí) ， 拋物線與直線的交點(diǎn)為 M(－ 1， 0)， N(1， 4)． (3)由 (1)得 O(0， 0)， B(3， 0)， P(1， 4)， C(0， 3)． ∵ L＝ OB＋ BP＋ PC＋ CO， 又 ∵ 線段 OB 平移過(guò)程中 ， OB， PC 的長(zhǎng)度不變 ， ∴ 要使 L 最小 ， 只需 BP＋ CO 最短． 如圖 ， 平移線段 OC 到 BC′， 四邊形 OBC′C 是矩形． ∴ C′(3， 3)． 作點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸 (或 OB)的對(duì)稱點(diǎn) P′(1， － 4)， 連接 C′P′與 x 軸交于點(diǎn) B′. 設(shè) C′P′解析式為 y＝ ax＋ n. ∴?????a＋ n＝－ 4，3a＋ n＝ 3. 解得???a＝ 72，n＝－ 152 . ∴ y＝ 72x－ 152 . 當(dāng) y＝ 0 時(shí) ， x＝ 157， ∴ B′ (157， 0)． 又 3－ 157 ＝ 67， 故點(diǎn) B 向左平移 67個(gè)單位 ， 平移到 B′. 同時(shí) ， 點(diǎn) O 向左平移 67個(gè)單位 ， 平移到 O′(－ 67， 0)， 即線段 OB 向左平移 67個(gè)單位時(shí) ， 周長(zhǎng) L 最短． 此時(shí) ， 線段 BP， CO 之和最短為 P′C′＝ 72＋ 22＝ 53， O′ B′ ＝ OB＝ 3， CP＝ 2. ∴ 當(dāng)線段 OB 向左平移 67個(gè)單位 ， 即點(diǎn) O 平移到 O′(－ 67， 0)， 點(diǎn) B 平移到 B′(157， 0)時(shí) ， 周長(zhǎng) L 最短為 53＋ 2＋ 3. 類型 3 探究特殊三角形的存在性問(wèn)題 6． 如圖 ， 已知拋物線 E1： y＝ x2經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1， m)， 以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線 E2經(jīng)過(guò)點(diǎn) B(2， 2)， 點(diǎn) A， B 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn) A′， B′ . (1)求 m 的值； (2)求拋物線 E2的函數(shù)解析式； (3)在第一象限內(nèi) ， 拋物線 E1上是否存在點(diǎn) Q， 使得以點(diǎn) Q， B， B′ 為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在 ， 求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由． 解： (1)∵ 拋物線 E1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1， m)， ∴ m＝ 12＝ 1. (2)∵ 拋物線 E2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) ， 可設(shè)它對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 y＝ ax2(a≠ 0)， 又 ∵ 點(diǎn) B(2， 2)在拋物線 E2上 ， ∴ 2＝ a a＝ 12 . ∴ 拋物線 E2的函數(shù)解析式為 y＝ 12x2. (3)假設(shè)在拋物線 E1上存在點(diǎn) Q， 使得以點(diǎn) Q， B， B′ 為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形． ① 當(dāng)點(diǎn) B 為直角頂點(diǎn)時(shí) ， 過(guò)點(diǎn) B 作 Q1B⊥ BB′ 交拋物線 E1于點(diǎn) Q1， 則點(diǎn) Q1與 B 的橫坐標(biāo)相等且為 2. 將 x＝ 2 代 入 y＝ x2， 得 y＝ 4. ∴ 點(diǎn) Q1(2， 4)； ② 當(dāng)點(diǎn) Q2為直角頂點(diǎn)時(shí) ， 則有 Q2B′ 2＋ Q2B2＝ B′ B2， 過(guò)點(diǎn) Q2作 Q2G⊥ BB′ 于點(diǎn) G. 設(shè)點(diǎn) Q2的坐標(biāo)為 (t， t2)(t＞ 0)， 則有 (t＋ 2)2＋ (t2－ 2)2＋ (2－ t)2＋ (t2－ 2)2＝ 42， 整理得 t4－ 3t2＝ 0. ∵ t＞ 0， ∴ t2－ 3＝ 0， 解得 t1＝ 3， t2＝－ 3(舍去 )． ∴ 點(diǎn) Q2( 3， 3)． 綜上所述 ， 存在符合條件的點(diǎn) Q 坐標(biāo)為 (2， 4)與 ( 3， 3)． 7． (2022雅安中學(xué)二診 )如圖 ， 已知拋物線與 y 軸交于點(diǎn) C(0， 4)， 與 x 軸交于 A(x1， 0)， B(x2， 0)兩點(diǎn) ， 其中 x1，x2為方程 x2－ 2x－ 8＝ 0 的兩個(gè)根． (1)求該拋物線的解析式； (2)點(diǎn) Q 是線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn) ， 過(guò)點(diǎn) Q 作 QE∥ AC， 交 BC 于點(diǎn) E， 連接 CQ， 設(shè) Q(x， 0)， △ CQE 的面積為 y， 求 y關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式及 △ CQE 的面積的最大值； (3)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (2， 0)， 問(wèn)：在直線 AC 上 ， 是否存在點(diǎn) F， 使得 △ OMF 是等腰三角形？若存在 ， 請(qǐng)求出點(diǎn) F 的坐標(biāo) ， 若不存在 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由． 解： (1)解方程 x2－ 2x－ 8＝ 0， 得 x1＝ 4， x2＝－ 2. ∴ A(4， 0)， B(－ 2， 0)． 設(shè)拋物線解析式為 y＝ a(x－ 4)(x＋ 2)． 將 C(0， 4)代入 ， 解得 a＝－ 12. ∴ 拋物線解析式為 y＝－ 12x2＋ x＋ 4. (2)由 Q(x， 0)， 可得 BQ＝ x＋ 2， AQ＝ 4－ x， 過(guò)點(diǎn) E 作 EH⊥ AB 于點(diǎn) H. ∴ EH∥ CO.∴ EHCO＝ BEBC. 又 ∵ QE∥ AC， ∴ BEBC＝ BQBA.∴ EHCO＝ BQBA. ∴ EH4 ＝ x＋ 26 ， 即 EH＝ 23(x＋ 2)． ∵ S△ CQE＝ S△ CBQ－ S△ EBQ＝ 12(x＋ 2)4－ 12(x＋ 2)23(x＋ 2)， ∴ y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y＝－ 13x2＋ 23x＋ 83＝－ 13(x－ 1)2＋ 3(－ 2＜ x＜ 4)． ∴△ CQE 的面積的最大 值為 3. (3)存在點(diǎn) F 使得 △ OMF 是等腰三角形． 設(shè) AC 的解析式為 y＝ kx＋ b. ∵ 直線 AC 過(guò)點(diǎn) A(4， 0)和 C(0， 4)， ∴?????4k＋ b＝ 0，b＝ 4. 解得 ?????k＝－ 1，b＝ 4. ∴ 直線 AC 的解析式為 y＝－ x＋ 4. ∵ 點(diǎn) F 在 AC 上 ， 設(shè) F(x， － x＋ 4)， ∴ OF＝ x2＋（－ x＋ 4） 2， MF＝ （ x－ 2） 2＋（－ x＋ 4） 2， OM＝ 2. 若 △ OMF 是等腰三角形 ， 則可能有三種情況： ① 如圖 1， 當(dāng) OF＝ FM 時(shí) ， F 的橫坐標(biāo)應(yīng)為 1， ∴ F(1， 3)； ② 當(dāng) OM＝ OF＝ 2 時(shí) ， x2＋（－ x＋ 4） 2＝ 2， 化簡(jiǎn)得 x2－ 4x＋ 6＝ 0. ∵ Δ ＝－ 8＜ 0∴ 這種情況不存在； ③ 如圖 2， 當(dāng) OM＝ MF 時(shí) ， （ x－ 2） 2＋（－ x＋ 4） 2＝ 4， 化簡(jiǎn)得 x2－ 6x＋ 8＝ 0， 解得 x1＝ 2， x2＝ 4(舍去 )． ∴ F(2， 2)． 綜上所述 ， 當(dāng) △ OMF 是等腰三角形時(shí) ， F(1， 3)或 (2， 2)． 8． (2022涼山模擬 )如圖 ， 已知正方形 OABC 的邊長(zhǎng)為 2， 頂點(diǎn) A， C 分別在 x 軸 ， y 軸的正半軸上 ， 點(diǎn) E 是 BC 的中點(diǎn) ， F 是 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且 FB＝ 1. (1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn) O， A， E 三點(diǎn)的拋物線解析式； (2)點(diǎn) P 在拋物線上運(yùn)動(dòng) ， 當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí) △ OAP 的面積為 2， 請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)； (3)在拋物線上 是否存在一點(diǎn) Q， 使 △ AFQ 是等腰直角三角形？若存在直接寫出 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由． 解： (1)點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 (2， 0)， 點(diǎn) E 的坐標(biāo)是 (1， 2)． 設(shè)拋物線的解析式是 y＝ ax2＋ bx＋ c， 根據(jù)題意 ， 得 ?????c＝ 0，4a＋ 2b＋ c＝ 0，a＋ b＋ c＝ 2. 解得?????a＝－ 2