【正文】 7 1 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS August 1, 2022 警惕過(guò)多地假設(shè)檢驗(yàn)。你對(duì)數(shù)據(jù)越 苛求，數(shù)據(jù)會(huì)越多地向你供認(rèn)，但 在威逼下得到的供詞，在科學(xué)詢查 的法庭上是不容許的 。 —— Stephen 統(tǒng)計(jì)名言 第 7 章 方差分析與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 方差分析的基本原理 單因子方差分析 雙因子方差分析 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)初步 7 3 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS August 1, 2022 不同運(yùn)動(dòng)隊(duì)的平均成績(jī)之間是否有顯著差異？ ? 奧運(yùn)會(huì)女子團(tuán)體射箭比賽 ， 每個(gè)對(duì)有 3名運(yùn)動(dòng)員 。 進(jìn)入最后決賽的運(yùn)動(dòng)隊(duì)需要進(jìn)行4組射擊 ， 每個(gè)隊(duì)員進(jìn)行兩次射擊 。 這樣 ，每個(gè)組共射出 6箭 ，4組共射出 24箭 ? 在 2022年 8月 10日進(jìn)行的第 29屆北京奧運(yùn)會(huì)女子團(tuán)體射箭比賽中 ， 獲得前 3名的運(yùn)動(dòng)隊(duì)最后決賽的成績(jī)?nèi)缦卤硭? 7 4 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS August 1, 2022 不同運(yùn)動(dòng)隊(duì)的平均成績(jī)之間是否有顯著差異？ ? 每個(gè)隊(duì)伍的 24箭成績(jī)可以看作是該隊(duì)伍射箭成績(jī)的一個(gè)隨機(jī)樣本 。 獲得金牌 、 銀牌和銅牌的隊(duì)伍之間的射箭成績(jī)是否有顯著差異呢 ？ ? 如果采用第 6章介紹的假設(shè)檢驗(yàn)方法 ， 用分布做兩兩的比較 ， 則需要做次比較 。 這樣做不僅繁瑣 ， 而且每次檢驗(yàn)犯第 Ι類錯(cuò)誤的概率都是 ， 作多次檢驗(yàn)會(huì)使犯第 Ι類錯(cuò)誤的概率相應(yīng)地增加 ， 檢驗(yàn)完成時(shí) ， 犯第 Ι類錯(cuò)誤的概率會(huì)大于 。 同時(shí) ， 隨著檢驗(yàn)的次數(shù)的增加 ， 偶然因素導(dǎo)致差別的可能性也會(huì)增加 ? 采用方差分析方法很容易解決這樣的問(wèn)題 ， 它是同時(shí)考慮所有的樣本數(shù)據(jù) ， 一次檢驗(yàn)即可判斷多個(gè)總體的均值是否相同 ， 這不僅排除了犯錯(cuò)誤的累積概率 ， 也提高了檢驗(yàn)的效率 方差分析方法就很容易解決這樣的問(wèn)題 ， 它是同時(shí)考慮所有的樣本數(shù)據(jù) ， 一次檢驗(yàn)即可判斷多個(gè)總體的均值是否相同 ， 這不僅排除了犯錯(cuò)誤的累積概率 ， 也提高了檢驗(yàn)的效率 方差分析的基本原理 什么是方差分析？ 從誤差分析入手 在什么樣的前提下分析？ 第 7 章 方差分析與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 什么是方差分析？ 方差分析的基本原理 7 7 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS August 1, 2022 什么是方差分析 (ANOVA)? (analysis of variance) 1. 方差分析的基本原理是在 20世紀(jì) 20年代由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Ronald 數(shù)據(jù)而首先引入的 2. 檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等 ? 通過(guò)分析數(shù)據(jù)的誤差判斷各總體均值是否相等 3. 研究分類型自變量對(duì)數(shù)值型因變量的影響 ? 一個(gè)或多個(gè)分類型自變量 ? 兩個(gè)或多個(gè) (k 個(gè) ) 處理水平或分類 ? 一個(gè)數(shù)值型因變量 4. 有單因子方差分析和雙因子方差分析 ? 單因子方差分析：涉及一個(gè)分類的自變量 ? 雙因子方差分析：涉及兩個(gè)分類的自變量 7 8 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS August 1, 2022 什么是方差分析 ? (例題分析 ) 【 例 】 確定超市的位置和競(jìng)爭(zhēng)者的數(shù)量對(duì)銷售額是否有顯著影響，獲得的年銷售額數(shù)據(jù) (單位：萬(wàn)元 )如下表 因子 水平或處理 樣本數(shù)據(jù) 7 9 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS August 1, 2022 什么是方差分析 ? (例題分析 ) 1. 如果只考慮 “ 超市位置 ” 對(duì)銷售額是否有顯著影響 ， 實(shí)際上也就是要判斷不同位置超市的銷售額均值是否相同 ? 若它們的均值相同 ， 意味著 “ 超市位置 ” 對(duì)銷售額沒(méi)有顯著影響；若均值不全相同 ， 則意味著 “ 超市位置 ” 對(duì)銷售額有顯著影響 ? “ 超市位置 ” 就是分類自變量 ， “ 銷售額 ” 則是數(shù)值因變量 。“ 超市位置 ” 是要檢驗(yàn)的對(duì)象 ， 稱為 因子 (factor)， 商業(yè)區(qū) 、 居民小區(qū) 、 寫字樓是因子的 3個(gè)取值 ， 稱為 水平 (level)或 處理(treatment)。 每個(gè)因子水平下得到的銷售額為樣本 觀測(cè)值 2. 方差分析要解決的問(wèn)題就是判斷超市的位置對(duì)銷售額是否有顯著影響 。 設(shè)商業(yè)區(qū) 、 居民小區(qū)和寫字樓 3個(gè)位置超市的銷售額均值是否相同 從誤差分析入手 方差分析的基本原理 7 11 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS August 1, 2022 方差分析的基本原理 (誤差分解 ) 1. 總誤差 (total error) ? 反映全部觀測(cè)數(shù)據(jù)的誤差稱 ? 所抽取的全部 36家超市的銷售額之間差異 2. 隨機(jī)誤差 (random error)—組內(nèi)誤差 (withingroup error) ? 由于抽樣的隨機(jī)性造成的誤差 ? 反映樣本內(nèi)部數(shù)據(jù)之間的隨機(jī)誤差 3. 處理誤差 (treatment error)—組間誤差 (betweengroup error) ? 不同的處理影響所造成的誤差 ? 反映樣本之間數(shù)據(jù)的差異 7 12 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS August 1, 2022 方差分析的基本原理 (誤差分解 ) 1. 數(shù)據(jù)的誤差用 平方和 (sum of squares)表示 ， 記為 SS 2. 總平方和 (sum of squares for total)記為 SST ? 反映全部數(shù)據(jù)總誤差大小的平方和 ? 抽取的全部 36家超市銷售額之間的誤差平方和 3. 組內(nèi)平方和 (withingroup sum of squares)記為 SS組內(nèi) ? 反映組內(nèi)誤差大小的平方和 ? 比如 ， 每個(gè)位置超市銷售額的誤差平方和 ? 只包含 隨機(jī)誤差 4. 組間平方和 (betweengroup sum of squares)記為 SS組間 ? 反映組間誤差大小的平方和 ? 比如 ， 同位置超市銷售額之間的誤差平方和 ? 既包括 隨機(jī)誤差 ， 也包括 處理誤差 7 13 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS August 1, 2022 方差分析的基本原理 (誤差分解 ) 誤差平方和的分解及其關(guān)系 總誤差 總平方和 (SST) 隨機(jī)誤差 處理誤差 組內(nèi)平方和 (SS組內(nèi) ) 組間平方和 (SS組間 ) = = + + 7 14 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS August 1, 2022 方差分析的基本原理 (誤差分析 ) 1. 誤差的大小用均方 (mean square)來(lái)表示 ， 也稱為方差 (variance) ? 平方和除以相應(yīng)的自由度 ? 總平方和 (SST)的自由度為 n1；組內(nèi)平方和 (SS組內(nèi) )的自由度為 nk ；組間平方和 (SS組間 )的自由度為 k1 2. 組內(nèi)平方和除以相應(yīng)的自由度結(jié)果稱為 組內(nèi)方差(withingroup variance)；組間平方和除以相應(yīng)的自由度結(jié)果稱為 組間方差 (betweengroup variance) 7 15 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS August 1, 2022 方差分析的基本原