[研究生入學(xué)考試]概率論課件第四章(已修改)
2025-01-15 23:55 本頁面
【正文】 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 一、數(shù)學(xué)期望 二、方差 三、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 四、矩和協(xié)方差矩陣 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)期望 第四章 第一節(jié) 二、 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 一 、數(shù)學(xué)期望的概念 三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、數(shù)學(xué)期望的概念 起源： 法國數(shù)學(xué)家 帕斯卡 （ Pascal， 1623—1662） 法國數(shù)學(xué)家 費馬 （ Fermat， 1601—1665） 法國貴族 德 .梅勒 （ de Mere， 1607—1684） 引例： 某人參加一個擲骰子游戲，規(guī)則如下： 擲得點數(shù) 獲得 (元 ) 1點 1 2,3點 2 4,5,6點 4 求：一次游戲平均得多少錢？ 解： 假設(shè)做了 n次游戲， 每次平均得： 當 n很大時， 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注： 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望由分布律唯一決定， 1() kkkE X x p??? ?1kkkxp???若級數(shù) 絕對收斂 ， 設(shè)離散型隨機變量 X 的分布律為 ),3,2,1(,}{ ???? kpxXP kk簡稱 期望或均值 ，記為 E(X). 則稱此級數(shù)的和為 X 的 數(shù)學(xué)期望 。 即 其與 X 取值順序無關(guān)。 定義 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1098kpX 8 9 100. 2 0. 5 0. 3kYp例 1 甲乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出 試問哪個人的射擊水平較高？ 解 甲乙的平均環(huán)數(shù)可求得： 因此，甲的射擊水平要比乙的好。 幾種常用離散型分布的期望 (1) （ 0—1）分布 ( ) 0 ( 1 ) 1E X p p p? ? ? ? ? ?(2) 二項分布 .)( npXE ?(3) 泊松分布 ?? }{ kXP)(~ ??X?? ?ekk!?,2,1,0?k ??)( XE設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為 ()x f x d x?????為 X 的數(shù)學(xué)期望。 ()x f x d x?????定義 2 如果 ? ?,xf絕對收斂，則稱 簡稱期望或均值，記為 E (X) . 即 ( ) ( )E X x f x d x????? ?幾種常用連續(xù)型分布的期望 (1) 均勻分布 ?????????其它,0,1)(bxaabxf? ????? dxxxfXE )()( ? ?? ba dxab x baabx )(22?? .2 ba ??(2) 指數(shù)分布 ? ??????????0001xxexfx??(3) 正態(tài)分布 .)( ??XE注： 并不是任何隨機變量都存在期望。 （要滿足絕對收斂的條件） 反例： E(X)是一個常數(shù)，表示的是隨機變量取值的平均， 與一般算術(shù)值不同，它是以概率為權(quán)的加權(quán)平均， 反映了隨機變量取值集中在均值附近。 發(fā)散的 例 有 5個獨立工作的電子裝置 ,它們的壽命服從同一個 指數(shù)分布，概率密度為 ? ??????????0001xxexfx??(1)若將這 5個電子串聯(lián)工作組成整機，求整機壽命 N的 數(shù)學(xué)期望。 (2)并聯(lián)成整機，求整機壽命 M的數(shù)學(xué)期望。 解： (1) (2) )( )( ?NE ME例 3. 某項任務(wù)完成所需時間 T )5,1 0 0(~ 2N該項任務(wù)若在 100天之內(nèi)完成則得獎金 10000元，若 在 100天至 115天內(nèi)完成，則得獎金 1000 元 , 115 天 , 罰款 5000 , 求完成任務(wù)獲得的平均獎金數(shù) 解 : )5,100(~ 2NT由 得 ,規(guī)定： 若超過 設(shè) Y 是完成該任務(wù)所獲獎金數(shù)，則 Y的可能取值為 10000, 1000, 5000 )5 100115(1 ????}115{ ?? TP}5 0 0 0{ ??YP? ?31 ??? ??? }1000{ YP }1 1 51 0 0{ ?? TP ??? }10000{ YP)20()0( ?????從而 Y 的 分布律為 10000 5000 1000 kpY}5 0 0 0{ ??YP ??? }1000{ YP 已求出 : ??)(YE ??????}1 000{ ?? TP ???二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 那么應(yīng)該如何計算呢？ 設(shè)已知隨機變量 X 的分布， 我們需要計算的不是 X 的期望， 而是 X 的某個函數(shù) g(X)的期望 . 按照期望的定義把 E [ g(X ) ]計算出來 . 一種方法： 因為 g( X )也是隨機變量， 故應(yīng)有概率分布， g( X )的分布可以由已知的 X 的分布求出來 . 知道了 g(X )的分布， 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( 2XE解 : 283241181041)1( 2222 ??????????已知 X 的分布律為 求 的數(shù)學(xué)
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1