[研究生入學(xué)考試]概率論課件第四章-文庫吧
2024-12-19 23:55 本頁面
【正文】 期望 。 2XkpX1/4 1/8 1/4 3/8 1 0 1 2 Eg: kp2X1/4 1/8 1/4 3/8 1 0 1 4 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 1 設(shè) ()Y g X? ( g為連續(xù)函數(shù) ) ⑴ 設(shè) X為離散型隨機變量，其分布律為 ),3,2,1(,}{ ???? kpxXP kk1()kkkg x p???若級數(shù) 絕對收斂 , 則 g(X) 的數(shù)學(xué)期望為 1( ) ( ( ) ) ( )kkkE Y E g X g x p???? ?⑵ 設(shè) X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 f (x), 若 絕對收斂 , ( ) ( )g x f x d x?????則 g(X) 的數(shù)學(xué)期望為 ( ) ( ( ) ) ( ) ( )E Y E g X g x f x d x?????? ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ??????????????連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYE kkk,)()(,)()]([)( 1這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便。 該公式的重要性在于 : 知道 g ( X )的分布， 而只需知道 X 的分布就可以了。 當(dāng)我們求 E[g(X )]時 ,不必 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 2 設(shè) ( X , Y )是二維隨機變量 , g ( X , Y )是二元連 續(xù)函數(shù) ( , )Z g X Y?⑴ 設(shè) ( X , Y )為離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律為 { , } , ( , 1 , 2 , 3 , )i j ijP X x Y y p i j? ? ? ?則 Z 的數(shù)學(xué)期望為 11( ) ( , )i j ijijE Z g x x p????? ??⑵ 設(shè) X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 f (x,y), 則 Z 的數(shù)學(xué)期望為 ( ) ( , ) ( , )E Z g x y f x y d x d y? ? ? ?? ? ? ?? ??絕對收斂 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)隨機變量 X 的概率密度為 例 1 求 E ( 1 / X )。 2, 0 ,()0 , 0 .xx e xfxx?? ?? ???解： 201 xx e d xx?? ????2??20xe d x?? ?? ?例 2. 設(shè)某公共汽車站于每小時的 10分 , 50分發(fā)車 , 乘客在每小時內(nèi)任一時刻到達車站是隨機的。求 乘客到達車站等車時間的數(shù)學(xué)期望。 設(shè) T 為乘客到達車站的時刻 (分 )， 設(shè) Y 為乘客等車時間，則 ? ?????????.,0,600,601其它ttf解 : 則 其概率密度為 已知 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知 的概率密度 ),( YX)(),(),( XYEYEXE??? ??????o t h e ryxyxyxf,010,10,),(例 求 ?)( XE72)( ?YE?)( XYE??? ????? ???? d x d yyxfx ),(72)(1010??? ? dx dyyxx解 ? ? ?? 10 10 )( d x d yyxxy31?? ????? ???? d x d yyxx y f ),()()( YEXE?同理 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 設(shè) C 是常數(shù)，則 E(C )=C 。 2. 若 C 是常數(shù)，則 E(CX ) = CE(X )。 3. 三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 證明 : 設(shè) ? ?????????? d x d yyxfyxYXE ),()()(? ???????? d x d yyxxf ),( ? ???????? d x d yyxyf ),(? ? ? ?yxfYX ,~.( ) ( ) ( )E X Y E X E Y? ? ??????niinii XEXE11)(][:推廣( ) ( )E X E Y??4. 設(shè) X、 Y 獨立，則 E(XY )=E(X )E(Y )。 證明 : 設(shè) ? ???????? dx dyyxx y fXYE ),()(? ???????? dx dyyfxx y f YX )()(? ? ? ?yxfYX ,~.????????? ydyfyxdxfx YX )()()()( YEXE??????niinii XEXE11)(][（當(dāng) Xi 獨立時） 注意 :該性質(zhì)不是充要條件。 推廣： 例 任意擲 5顆骰子， X—5顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和 ,求 E(X). 解： 1 2 3 4 5 6 例 二 項分布 ? ?pnBX ,~解： 則 ????次試驗失敗如第次試驗成功如第iiXi
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