【正文】 1 中南大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課程之 復(fù)變函數(shù) 唐先華 Tel:13786149226 Email: 中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計算技術(shù)學(xué)院 2 研究對象 復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)） 主要任務(wù) 正確理解和掌握復(fù)變函數(shù)中的數(shù) 學(xué)概念、理論和方法。 主要內(nèi)容 復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)、 共形映射等 . 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、 引 言 3 學(xué)習(xí)方法 復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和 方法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推 廣和發(fā)展，它們之間有許多相似 之處 .但又有不同之處，在學(xué)習(xí) 中要善于比較、區(qū)別、特別要注 意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié) 果 . 4 背 景 復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時引進(jìn)的 .為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域 . 但在十八世紀(jì)以前，由于對復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，在歷史上長時期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)” . 直到十八世紀(jì)， ’Alembert與 步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題 . 復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展 . 5 復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)奠定于十九世紀(jì) . 和 數(shù)研究復(fù)變函數(shù)， 照性 質(zhì)。他們是這一時期的三位代表人物 .經(jīng)過他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用 . 二十世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切 . 6 第 1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 第 2章 解析函數(shù) 第 3章 復(fù)變函數(shù)的積分 第 4章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法 第 5章 解析函數(shù)的洛朗展開式與孤立奇點 第 6章 留數(shù)理論及其應(yīng)用 第 7章 共形映射 第 8章 解析延拓 第 9章 調(diào)和函數(shù) 7 第 1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算 8 .Im,Re,1, 2zyzxzyxiiiyxziyxyx???????和虛部，記為的實部分別稱為復(fù)數(shù)和虛數(shù)單位，實數(shù)稱為滿足，其中復(fù)數(shù)，記為的數(shù)為如為兩個任意實數(shù)，稱形設(shè)成是一個實數(shù)。時，我們可把該復(fù)數(shù)看稱為純虛數(shù)；當(dāng)時，當(dāng) 00,0 ???? yiyzyx 復(fù)數(shù)的概念 9 ?????????????非純虛數(shù)純虛數(shù)虛數(shù)無理數(shù)有理數(shù)實數(shù)復(fù)數(shù) 兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是他們的實部和虛部分別相等。 一般說來，任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小 。 各數(shù)集之間的關(guān)系可表示為： 10 復(fù)數(shù)的代數(shù)運算 四則運算如下：的定義設(shè)復(fù)數(shù) 2122111 ,.1 zziyxziyxz ????)。(( 21)2121 yyixxzz ?????加法：)。()( 212121 yyixxzz ?????減法：。(( 1221212121 ））乘法： yxyxiyyxxzz ????)0( 22222211222222121221121??????????zyxyxyxiyxyyxxiyxiyxzz除法：11 12211 zzzz ???）加法交換律：（12212 zzzz ???）乘法交換律：（)()( 3 321321 zzzzzz ?????）加法結(jié)合律：（)()( 4 321321 zzzzzz ?????）乘法結(jié)合律：（3121321 5 zzzzzzz ?????? ）（）分配律：（12 。則，如果共軛的復(fù)數(shù)記為與數(shù)，的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)反數(shù)實部相同，虛部互為相iyxziyxzzz???? ,共軛復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)： 圖 。 )1( zz ?2121 )2( zzzz ??13 。 )3( 2121 zzzz ???。 )4(2121zzzz?????????。)(Im)( R e )5( 22 zzzz ???。2Im,2Re )6(izzzzzz ????. )7( 為實數(shù)zzz ??14 ? 例 1 化簡 . ? 解 ii??2)32( 2??? ii2 )32(2 4 9 1 22ii???( 5 1 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )iiii? ? ????5292 i??15 ? 例 2 設(shè) ，求 及 . ? 解 )52(4321iiiiz?????? zz Im,Re zziiiiiiiiiiz52)43)(43()43)(21(524321 ?????????????2510525211)5(5)5)(2(25211 iiiiiii ??????????i2582516 ??258Im,2516Re ?? zz12564)2582516)(2582516( ???? iizz所以， 16 復(fù)數(shù)的幾何表示 復(fù)數(shù)的幾何表示、復(fù)平面 ? 由復(fù)數(shù) 的定義可知 ， 復(fù)數(shù)是由一對有序?qū)崝?shù) 惟一確定的 ， 于是可建立全體復(fù)數(shù)和 平面上的全部點之間的一一對應(yīng)關(guān)系 ， 即可以用橫坐標(biāo)為 ， 縱坐標(biāo)為 的點 表示復(fù)數(shù) （ 如圖 ） ， 這是一種幾何表示法 ， 通常稱為點表示 ， 并將點 與數(shù) 看作同義詞 . iyxz ??),( yxxOyx yiyxz ??zz17 圖 由于 軸上的點對應(yīng)著實數(shù)，故 軸稱為實軸； 軸上非原點的點對應(yīng)著純虛數(shù)，故 軸稱為虛軸。這樣表示復(fù)數(shù) 的平面稱為復(fù)平面或 平面。 x xyyz z18 、模與輻角 （ 1） 復(fù)數(shù)的向量表示 復(fù)數(shù) 還可以用起點為原點，終點為 的向量 來表示（如圖 ）， 與 分別是 在 軸與 軸上的投影 .這樣，復(fù)數(shù)與平面上的向量之間也建立了一一對應(yīng)關(guān)系 . iyxz ??),( yxP OP x yyxOP（ 2）復(fù)數(shù)的模與輻角 復(fù)數(shù)的模 . 如圖 的長度稱為復(fù)數(shù) 的模，記作 或 ，即 OPiyxz ?? z r22xy??z ? r19 模的性質(zhì) ： 2|| |,||| )1( zzzzz ??|||| |,||| |,||||| )2( zyzxyxz ????|||||| )3( 2121 zzzz ?|||||| )4( 2121 zzzz ???|||||||| )5( 2121 zzzz ???o x y 1z2z21 zz ?21 zz ?圖 20 復(fù)數(shù)的輻角 設(shè)復(fù)數(shù) 對應(yīng)的向量為 （如圖 ） , 以正實軸為始邊，以表示 的向量 為終邊的角 ，稱為復(fù)數(shù) 的輻角 ,記作 ，即 . 0?z OPzOP ? zzArg zA r g??顯然， 有無窮多個值，其中每兩個值相差 的整數(shù)倍，用 表示其中一個特定的 值，則 其中滿足條件 的只有一個，稱為復(fù)數(shù) 的輻角的主值，記作 ， 而 可根據(jù) 計算得出 zArg?2arg z??? ? ?z P v arg za r g 2 , ,Argz z k k Z?? ? ?ta n ( Pv a r g ) yz x?zargP v arg z21 a r c ta n 0 ,0 , 02