【正文】 第三節(jié) 位移分量的求出 第四節(jié) 簡支梁受均布荷載 第五節(jié) 楔形體受重力和液體壓力 例題 第一節(jié) 逆解法與半逆解法 多項式解答 第二節(jié) 矩形梁的純彎曲 逆解法：先設定各種形式、滿足相容方程的應力函數(shù)，然后求應力分量，再根據邊界條件來考察這些應力分量對應什么樣的面力，從而得知所設定的應力函數(shù)可以解決什么樣的問題 半逆解法：針對所要求解的問題，根據彈性體的邊界條件，先設定一部分或全部應力分量函數(shù)，從而導出應力函數(shù)，再考察這個應力函數(shù)是否滿足相容方程，應力分量是否滿足邊界條件，若滿足，這個結果就是正確的，若不滿足，還須另作假設，重新考察 第三章 平面問題的直角坐標解答 167。 3－ 1 逆解法和半逆解法 多項式解法 ，按應力函數(shù) 求解平面應力問題時， 應滿足 按 求解 Φ4 0 . (a )Φ???S? ? ? ?, . ( b )x y x x y x y yssl m f m l f? ? ? ?? ? ? ?ΦΦ⑶ 多連體中的位移單值條件。 (c) ⑵ S = 上應力邊界條件 , ⑴ A內相容方程 第三章 平面問題的直角坐標解答 對于 單連體 ， (c)通常是自然滿足的。只須滿足 (a),(b)。 由 求應力的公式是 Φ,22xfyΦσ xx ????,22 yfxΦσ yy ????.2yxΦτxy ?????(d) 第三章 平面問題的直角坐標解答 2 .逆解法 ── 先滿足 (a),再滿足 (b)。步驟 : 04 ?? Φ 。Φ.)()( ,sxyyysxyxxl τm σfm τl σf???? (e) 逆解法 。 , , xyyx σσ ?⑴ 先找出滿足 的解 ⑶ 在給定邊界形狀 S下，由式 (b)反推出 各邊界上的面力， ⑵ 代入 (d), 求出 第三章 平面問題的直角坐標解答 從而得出，在面力 (e)作用下的解答，就是上述 和應力。 Φ逆解法 逆解法沒有 針對性 ，但可以積累基本解答。 第三章 平面問題的直角坐標解答 例 2 二次式 ，分別表示常量 的應力和邊界面力。如圖示。 例 1 一次式 對應于無體力， 無面力，無應力狀態(tài)。故應力函數(shù)加減 一次式，不影響應力。 Φ ax by c? ? ?22 cyb x yaxΦ ???逆解法 2a 2a o y x o y x o y x b b b b 2c 2c 第三章 平面問題的直角坐標解答 第三章 平面問題的直角坐標解答 例 3 逆解法 設圖中所示的矩形長梁， l h， 試考察應力函數(shù) 能解決什么樣的受力問題？ )43(2 223 yhxyhFΦ ??y x o l h/2 h/2 ( l h) 第三章 平面問題的直角坐標解答 解 ： 按逆解法。 1. 將 代入相容方程，可見 是滿足的。 有可能成為該問題的解。 ΦΦ04 ?? Φ 2. 由 求出應力分量 Φ).41(23,0,1222222322hyhFyxΦxΦσhF x yyΦσxyyx??????????????????第三章 平面問題的直角坐標解答 因此，在 的邊界面上，無任何面力作用，即 3. 由邊界形狀和應力分量反推邊界上的面力。 在主要邊界（大邊界） 上， 2/hy ??,0?yσ ? ?2/hy ????第三章 平面問題的直角坐標解答 在 x = 0， l的次要邊界（小邊界）上， ).41(23)( ,12)( ),()。41(23)( ,0)( ),(02232200hyhFfyhFlσfxlxhyhFfσfxxlxxyylxxxxxyyxxx??????????????????????面正面負第三章 平面問題的直角坐標解答 在 x = 0,l 小邊界上的面力 如下圖中 (a) 所示，而其主矢量和主矩如 (b)所示。 由此，可得出結論：上述應力函數(shù)可以解決懸臂梁在 x = 0 處受集中力 F作用的問題。 yx ff ,第三章 平面問題的直角坐標解答 F F M (a) (b) 第三章 平面問題的直角坐標解答 ⑶ 代入 ，解出 ； 步驟： 04 ?? ΦΦΦ半逆解法 ⑵ 由應力 (d)式，推測 的函數(shù)形式； ⑴ 假設應力的函數(shù)形式 （根據受力情況，邊界條件等）； 第三章 平面問題的直角坐標解答 ⑷ 由式 （ d） ， 求出應力； 半逆解法 ⑸ 校核全部應力邊界條件（對于多連體， 還須滿足位移單值條件）。 如能滿足，則為正確解答；否則修改假設，重新求解。 第三章 平面問題的直角坐標解答 思考題 半逆解法 1. 在單連體中，應力函數(shù)必須滿足哪些條件？逆解法和半逆解法是如何滿足這些條件的？ 2. 試比較逆解法和半逆解法的區(qū)別。 第三章 平面問題的直角坐標解答 167。 32 矩形梁的純彎曲 梁 l h 1， 無體力，只受 M作用（力矩 /單寬，與力的量綱相同）。本題屬于純彎曲問題。 問題提出 h/2 h/2 l y x ( l h) o M M 第三章 平面問題的直角坐標解答 ⑴ 由逆解法得出，可取 ，且滿足 ⑵ 求應力 .04 ?? Φ,6ayσ x ? .0??xyyσ ?3ayΦ?(a) 求解步驟： 04 ?? Φ 本題是平面應力問題 ,且為單連體，若按 求解， 應滿足相容方程及 上的應力邊界條件。 ΦΦ ?ss ?第三章 平面問題的直角坐標解答 ⑶ 檢驗應力邊界條件，原則是 : 邊界條件 （ 小邊界 ），若不能精確滿足應力邊界條件，則應用圣維南原理，用積分的應力邊界條件代替。 （ 大邊界 ），必須精確滿足應力邊界條件。 第三章 平面問題的直角坐標解答 主要邊界 ,2/hy ??,0)( 2/ ??? hyyσ /2( ) 0 . ( b )x y y h? ?? ? 從式 (a)可見，邊界條件 (b)均滿足。 0 , ( ) 0 ,x y x l? ? ?滿足。 主要邊界 次要邊界 x=0, l, (c) 的邊界條件無法精確滿足。 xσ第三章 平面問題的直角坐標解答 次要邊界 /20,/2/20,/2( ) d 1 0 ,( d )( ) d 1hx x lhhx x lhσyσ y y M???????????? ? ? ???? 。用兩個積分的條件代替 第三章 平面問題的直角坐標解答 當 時，即使在 邊界上面力 不同于 的分布，其誤差僅影響梁的兩端部分上的應力。 式 (d)的第一式自然滿足，由第二式得出 。3/2 hMa ?最終得 應力解 ,12 3 yIMyh Mσ x ??(e) hl ?? lx ,0?xσ.0?? xyyσ ?第三章 平面問題的直角坐標解答 如果區(qū)域內的平衡微分方程已經滿足，且除了最后一個小邊界外，其余的應力邊界條件也都分別滿足。則我們可以推論出，最后一個小邊界上的三個積分的應力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）必然是滿足的，因此可以不必進行校核。試對此結論加以說明。 思考題 第三章 平面問題的直角坐標解答 167。