山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室(已修改)
2024-10-27 18:40 本頁面
【正文】 山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室 應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第一章 函數(shù)與極限 第一節(jié) 函數(shù) 第二節(jié) 反函數(shù)與初等函數(shù) 第三節(jié) 極限的定義 第四節(jié) 無窮小量與無窮大量 第五節(jié) 極限的運算 第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 第七節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 第一節(jié) 函數(shù) 區(qū)間、鄰域 函數(shù)概念 函數(shù)的幾種特性 ? 單調(diào)性 ? 奇偶性 ? 周期性 ? 有界性 區(qū)間 定義：區(qū)間是用得較多的一類數(shù)集，它是介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù)。這兩個實數(shù)又稱為區(qū)間的端點，例如：設(shè) a、b都是實數(shù)，且 ab,數(shù)集 {x｜ axb}稱為開區(qū)間，記作（ a、 b），同理有閉區(qū)間，半開區(qū)間，有限區(qū)間和無限區(qū)間。 分類： ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ????????????????????????????????????????小于等于b 的一切實數(shù)：b,小于b 的一切實數(shù) ：b,大于等于a 的一切實數(shù) ：a,：大于a 的一切實數(shù)a,全體實數(shù) ：,無限區(qū)間ba,或ba,如點半開區(qū)間：包括一個端ba,如 ba,閉區(qū)間：包括兩個端點ba,如 b點a ,開區(qū)間：不包括兩個端有限區(qū)間一、區(qū)間與鄰域 定義 : 以點 a 為中心的任何開區(qū)間稱為 點 a 的鄰域 , 記作 )( aU . ??a ??a定義 : 點 a 的 δ 鄰域去掉中心 a 后 , 稱為點 a 的去心 δ 鄰域 , 記作 ) ,( ?aUo, 即 }.||0|{) ,( ?? ???? axxaUo ? 鄰域 a 定義 : 設(shè) δ 是一個正數(shù) , 則開區(qū)間 ) ,( ?? ?? aa 就是點 a 的一個鄰域 , 稱為 點 a 的 δ 鄰域 , 記作 ) ,( ?aU , 即}|{) ,( ??? ????? axaxaU . 點 a 稱為這鄰域的中心 , δ 稱為這鄰域的半徑 . ? 確定函數(shù)的兩個主要因素： D和 f ? 兩個函數(shù)相同的條件 例 1 判斷下列函數(shù)是否相同 xxxfxf xxfxxf 222 c o ss i n)(1)( lg2)(lg)( ??? ?? 和 和))((:32)( 2 xffxxxf 求???)(:)10(t a n2c o s)( s i n 22 xfxxxxf 求?????f 的真實含義 (對應(yīng)法則 —— 對 x的一種作用） 例 2 例 3 ? 分段函數(shù)：（ D和 f ） ? ??????????????0,10,00,1s g nxxxxyxyxy 和二、函數(shù)概念 三、函數(shù)的特性 注 ：（１）函數(shù)單調(diào)性是一條與區(qū)間有關(guān)的性質(zhì)． （２）單調(diào)增加函數(shù)圖形特點是曲線自左向右逐漸上升， 單調(diào)減少函數(shù)圖形特點是曲線自左向右逐漸下降 ． 注 ：（ 1）函數(shù)具有奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點對稱。 （ 2）奇函數(shù)圖形關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖形關(guān)于 y軸對稱。 )1(l o g)( 2 ??? xxxf a例 5 證明 為奇函數(shù)。 注 ：（ 1）周期函數(shù)定義域為（－ ∞，＋ ∞） （ 2）周期函數(shù)圖形每間隔周期 T將重復(fù)出現(xiàn)，根據(jù)這一特點作圖時只需作出函數(shù)在一個周期上的圖形之后向左向右平移即可作出全部。 注：（ 1）函數(shù)是否有界除與函數(shù)本身有關(guān)外，還與討論區(qū)間有關(guān)。 （ 2）有界函數(shù)圖形總能被平行于 y軸的兩條直線所夾。 第二節(jié) 反函數(shù)與初等函數(shù) 一、 反函數(shù) 二、 基本初等函數(shù) 三、 復(fù)合函數(shù) 四、 初等函數(shù) 五、 建立函數(shù)關(guān)系式舉例 ?定義：設(shè)函數(shù) y=f(x)，如果把 y當(dāng)作自變量， x當(dāng)作函數(shù)，那么由關(guān)系式 y=f(x)所確定的函數(shù) x=g(y)稱為 y=f(x)的反函數(shù)。函數(shù) y=f(x)稱為直接函數(shù)。 一、 反函數(shù) ?互為反函數(shù)特點 ： （ 1） 函數(shù) y=f(x) 與其反函數(shù) x=g(y)的定義域與值域正好調(diào)換。 （ 2）按照習(xí)慣 x是自變量， y是函數(shù)。因而通常將 x=g(y)中 x與 y互換，得到反函數(shù)為 y=g(x)，這個函數(shù)與 y=f(x)的圖形關(guān)于直線 y=x對稱。 ?反函數(shù)存在的條件 ：函數(shù) y=f(x)的反對應(yīng)關(guān)系是單值的。 例 1： y=x2(x0)； y=x2(x任意） ?確定反函數(shù)的步驟 ： （ 1）從 函數(shù) y=f(x) 中解出 x，得到 x=g(y) （ 2）互換變量 x與 y， 得到反函數(shù)為 y=g(x) 例 3 求函數(shù) 的反函數(shù) ????????????????xxxxxyx 424112例 2 求下列函
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