[理學(xué)]自動控制原理第九章(已修改)
2024-10-31 01:09 本頁面
【正文】 狀態(tài)方程的求解 本章是通過求解系統(tǒng)方程的解來研究系統(tǒng)性能的。由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程是矩陣微分方程，而輸出方程是矩陣代數(shù)方程。因此，只要求出狀態(tài)方程的解，就很容易得到系統(tǒng)的輸出，進而研究系統(tǒng)的性能。 本章內(nèi)容為 1 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解 2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 3 線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解 4 線性時變系統(tǒng)的運動分析 5 線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣 8 用 MATLAB求解系統(tǒng)方程 6 線性連續(xù)系統(tǒng)方程的離散化 7 線性離散系統(tǒng)的運動分析 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為 （ 1） （ 2） 先考察標(biāo)量齊次微分方程的冪級數(shù)解法 axx ???? ??????? kk tbtbtbtbbx 332210假設(shè)其解為一冪級數(shù) （ 3） ?? ????? ? 12321 32 kk tkbtbtbb將（ 3）式代入（ 2）式 )( 2210 ?? ?????? kk tbtbtbba)()( tt Axx ??這時系統(tǒng)的輸入為零 等式兩邊 t 的同次冪的系數(shù)相等，因此有 ??????????????0021201!11!2121bakabkbbaabbabbkkk?而 )0(0 xb ??? ?????? kkat taktaat !1!211e 22因為 則解為 )0(e)0()!1!211()( 22 xxtaktaattxatkk ??????? ??（ 4） 模仿標(biāo)量齊次微分方程的解法，假設(shè)線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程（ 1）的解為 ?? ??????? kk tttt bbbbbx 332210 （ 5） 將（ 5）式代入（ 1）式 ?? ????? ? 12321 32 kk tktt bbbb)( 2210 ?? ?????? kk tttA bbbb等式兩邊 t 同次冪的系數(shù)相等，因此有 ??????????????0021201!11!2121bAAbbbAAbbAbbkkkkk? 而 )0(0 xb ??? ?????? kkt tktt AAAA !1!211e 22記作 則線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程（ 1）的解為 )0()!1!211()( 22 xAAAx ?? ?????? kk tkttt（ 6） 則 )0(e)( xxA tt ?（ 7） 如果 00 ?t 則 )(e)(0)( 0 tt tt xx A ??（ 8） 將（ 8）式代入（ 1）式驗證 )()(e)()( 0)( 0 tttdtdt tt AxxAxx A ??? ??)()(e)( 00)( 000 ttt tttt xxx A ?? ??和 )( 0e tt?A矩陣指數(shù)函數(shù) 又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記作 )( 0tt ??)(tx)(0tx由于系統(tǒng)沒有輸入向量， 是由初始狀態(tài) 激勵的。因此，這 時的運動稱為自由運動。 的形態(tài)由 決定，即是由矩陣 A 惟一決定的。 )(tx)( 0e tt?A 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解為 )(e)( 0)( 0 tt tt xx A ?? 或 )0(e)( )( xx A tt ?其幾何意義是：系統(tǒng)從初始狀態(tài) 開始，隨著時間的推移，由 轉(zhuǎn)移到 ，再由 轉(zhuǎn)移到 ， …… 。 的形態(tài)完全由 決定。 )( 0tx)( 01e tt ?A )( 1tx )(12e tt ?A )( 2tx)(tx )( 0e tt?A 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì) 1） AA AAA ttt eeedtd ?? 即 AA )()()( ttt ??? ???2） IA ??0e 即 I?)0(?3）可逆性 ? ?tt AA ?? ? ee 1即 ? ? )()()(11 ttt ??? ?? ???)()()( 020212 tttttt ???? ???4）傳遞性 )()()( 020212 eee tttttt ??? ? AAA即 5）當(dāng)且僅當(dāng) 時，有 BAAB ? ttt )(eee BABA ??如果 時，則 ttt )(eee BABA ?? 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法 方法 1 根據(jù)定義，計算 )(t??? ??????? kkt tkttt AAAIA !1!21e)( 22?方法 2 應(yīng)用拉普拉斯變換法，計算 )(t?Axx ??對上式求拉普拉斯變換，得 )()0()( sss Axxx ?? )0()(][ xxAI ?? ss][ AI ?s如果 為非奇異 )0(][)( 1 xAIx ??? ss（ 9） ?)(tx L ?? ?? )}0(]{[ 11 xAIs L )0(][ 11 xAI ?? ?s（ 10） 由微分方程解的唯一性 ?? tt Ae)(? L 11 ][ ?? ? AIs例 22 線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為 ?????????????????????21213210xxxx??求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 tt Ae)( ??解 ????????????????????????????????????????????????2211221221112112213)2)(1(1321][11sssssssssssssss AI于是 ?? tt Ae)(? L ????????????????????????tttttttts 222211e2ee2e2eeee2][ AI方法 3 應(yīng)用凱萊 哈密頓定理，計算 )(t?凱萊 哈密頓定理： 矩陣 A 滿足自身的特征方程。 nn?0]d e t [)Δ( 012211 ????????? ?? aλaλaλaλλλ nnn ?AI即 012211 aλaλaλaλ nnn ?????? ?? ?根據(jù)凱萊 哈密頓定理 0)Δ( 012211 ??????? ?? IAAAAA aaaa nnn ?IAAAA 012211 aaaa nnn ????? ?? ? （ 11） 例 用凱萊 哈密頓定理計算 1006293??????解 0962 93d e t)Δ( 2 ?????????????? λλλλλ092 ?? AA由凱 哈定理： AA 991 0 0 9?AA 92 ?AAA 223 99 ?? ,? ??????????????629396293 991 0 0所以 A2?nA1?nA（ 11）式表明： 是 、 、 、 、 的線性組合 nA I?AAAAAAA 0213211 aaaa nnnn ??????? ?? ?（ 12） 將（ 11）式代入（ 12）式，不斷地進行下去，可以看出： IA?2?nA1?nAnA 、 、 、 都是 、 、 、 、 的線性組合 1?nA 2?nA ??? ??????? kkt tkttt AAAA !1!211e)( 22?112210 )()()()( ??????? nn tatatata AAAI ?（ 13） )(tai其中， ，
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