矩陣的秩及向量組的極大無關(guān)組求法(已修改)
2025-10-25 18:11 本頁面
【正文】 《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 一、矩陣的秩的概念 二、初等變換求矩陣的秩 三、向量組方面的一些重要方法 下頁第 7節(jié) 矩陣的秩及向量組的極大無關(guān)組求法 ① 向量組的秩的計(jì)算方法 ② 極大無關(guān)組的確定方法 ③ 用極大無關(guān)組表示其它向量的方法 注意：第 67節(jié)與教材內(nèi)容及次序有所不同 ,請(qǐng)作筆記 . 《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 定義 1 設(shè) A是 m╳ n矩陣 ， 在 A中任取 k行 k列 (1≤k≤min{m,n})， 位于 k行 k列交叉位置上的 k2個(gè)元素 ， 按原有的次序組成的 k階行列 式 ， 稱為 A的 k階子式 . 如矩陣 第 1,3行及第 2,4列交叉位置上的元素組成的一個(gè)二階子式為 ????????????230012112021A1202三階子式共有 4個(gè) 1 1 01 1 20 0 3?1 1 21 1 10 0 2?1 0 21 2 10321 0 21 2 10 3 2?下頁 矩陣的秩的概念 《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 定義 2 若矩陣 A有一個(gè) r階子式不為零 ， 而所有 r+1階子式 (如果存在的話 )全等于零 ， 則 r稱為矩陣 A的秩 ， 記作 r(A). 規(guī)定零矩陣的秩為零 . 易見： （ 1） 若 A是 m╳ n矩陣 ， 則 r(A) ≤min{m,n}. （ 2） 若 m╳ n矩陣 A中 有一個(gè) r階子式不等于零 ， 則 r(A) ≥r； 若所有 r+1階子式全等于零 ， 則 r(A) ≤ r. （ 3） r(A) = r(AT) . （ 4） r(kA) = r(A)， k≠0 . （ 5） 對(duì) n階方陣 A， 若 |A|≠0， 則 r(A)=n ,稱 A為 滿秩矩陣 。 若 |A| = 0， 則 r(A)n ,稱 A為 降秩矩陣 . 結(jié)論： n階方陣 A可逆的充分必要條件是 A滿秩 . 下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 例 1. 求下列矩陣的秩 . ???????????690346422321C解 : C的最高階子式 三 階子式全部 都等于零 ， 即 ?903642321603442221690464232? 0693462231??但二階子式 12 6030 ? ? ?所以 .2)( ?Cr下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 定理 1 初等變換不改變矩陣的秩 . 定義 3 滿足下面兩個(gè)條件的矩陣稱為 行階梯形矩陣 ， 簡(jiǎn) 稱 階梯形矩陣 ： （ 1） 若有零行 ， 零行都在非零行的下方 (元素全為零的行 稱為零行 ， 否則稱為非零行 )； （ 2） 從第一行起 ， 下面每一行從左向右第一個(gè)非零元素 前面零的個(gè)數(shù)逐行增加 . 如 ??????????000022003121??????????100001210032210下頁 初等變換求矩陣的秩 《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 定理 2 任何一個(gè)秩為 r 的矩陣 A=(aij) m╳ n都可以通過初等 行變換化為行階梯形矩陣 Br， 且 Br的非零行數(shù)為 r. 即
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