[工學]信號與系統(tǒng)教案第2章(2)(已修改)
2024-10-28 18:24 本頁面
【正文】 信號與系統(tǒng) 第 21頁 ■ 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應 一、微分方程的經(jīng)典解 二、關于 0和 0+初始值 三、零輸入響應和零狀態(tài)響應 沖激響應和階躍響應 一、沖激響應 二、階躍響應 卷積積分 一、信號時域分解與卷積 二、卷積的圖解 卷積積分的性質 一、卷積的代數(shù)運算 二、奇異函數(shù)的卷積特性 三、卷積的微積分性質 四、卷積的時移特性 點擊目錄 ，進入相關章節(jié) 信號與系統(tǒng) 第 22頁 ■ 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應 ?LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 ?建立并求解線性微分方程。 ?由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間 t，故稱為 時域分析法 。 ?這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各 種變換域分析法的基礎。 信號與系統(tǒng) 第 23頁 ■ LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應 一、微分方程的經(jīng)典解 設一個線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)，輸入為 f(t)， 輸出為 y(t)，可用 線性常系數(shù)微分方程 描述 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應 y(n)(t) + an1y (n1)(t) + …+ a 1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm1f (m1)(t) + …+ b 1f(1)(t) + b0f (t) 微分方程的經(jīng)典解： y(t)(完全解 ) = yh(t)(齊次解 ) + yp(t)(特解 ） 信號與系統(tǒng) 第 24頁 ■ LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應 ?特解 的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關。 P43表 2 22 ? 齊次解 yh(t)是齊次微分方程的解。 y(n)+an1y(n1)+…+a 1y(1)(t)+a0y(t)=0 yh(t)的函數(shù)形式 由特征方程的 特征根 確定。 其特征方程為 0111 ????? ?? ?? aaa nnn ???信號與系統(tǒng) 第 25頁 ■ 系統(tǒng)全響應 自由響應 強迫響應 齊次解 特解 暫態(tài)響應 穩(wěn)態(tài)響應 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應 ?自由響應 ?由系統(tǒng)自身固有特性決定的響應 ?系統(tǒng)微分方程的 齊次解 ?一般是衰減的，是暫態(tài)響應 ?強迫響應 ?由系統(tǒng)激勵強制產(chǎn)生的響應 ?系統(tǒng)微分方程的 特解 ?取決于激勵信號，可能是暫態(tài)，也可能是穩(wěn)態(tài) LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應 信號與系統(tǒng) 第 26頁 ■ LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應 例 描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求 :當 f(t) = 2et， t≥0； y(0)=2， y’(0)= 1時的全解。 解 : (1) 特征方程為 λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根 λ1= – 2， λ2= – 3。 齊次解為 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 由表 22可知，當 f(t) = 2e – t時，其特解可設為 yp(t) = Pe – t 將其代入微分方程得 Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 于是特解為 yp(t) = e – t 全解為： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t 其中 待定常數(shù) C1,C2由初始條件確定 。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ， C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0 信號與系統(tǒng) 第 27頁 ■ LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應 二、關于 0和 0+初始值 (y(j)(0) 與 y(j)(0+)) ? 若 f(t)是在 t=0時接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù) Ci 時用 t = 0+時刻的 初始值 ，即 y(j)(0+) (j=0,1,2… ， n1)。 ? 而 y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統(tǒng) 的歷史信息。 ? 在 t=0時，激勵尚未接入， y(j)(0)反映 系統(tǒng)的歷史 情況 而與激勵無關。稱這些值為 初始狀態(tài) 。 ? 求解微分方程，需從已知的 初始狀態(tài) y(j)(0)設法 求得 初始值 y(j)(0+) (j=0,1,2… ， n1) 。 信號與系統(tǒng) 第 28頁 ■ 例 ： 描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知 y(0)=2， y’(0)= 0， f(t)=ε(t)，求 y(0+)和 y’(0+)。 解 ： 將輸入 f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （ 1） 利用 系數(shù)匹配法 分析：若上式對于 t=0也成立，則在 0t0+區(qū)間等號兩端 δ(t)項的系數(shù)應相等。 由于等號右端為 2δ(t)，故 y”(t)應包含沖激函數(shù)，從而y’(t)在 t= 0處將發(fā)生躍變，即 y’(0+)≠y’(0)。 但 y’(t)不含沖激函數(shù)，否則 y”(t)將含有 δ’(t)項。由于y’(t)中不含 δ(t)，含有 ε(t)項，故 y(t)在 t=0處是連續(xù)的。 故
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