[工學(xué)]信號與系統(tǒng)教案第5章西安電子科技大學(xué)(已修改)
2025-10-23 18:25 本頁面
【正文】 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 51頁 ■ 電子教案 第五章 連續(xù)系統(tǒng)的 s域分析 拉普拉斯變換 一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 二、收斂域 三、 (單邊 )拉普拉斯變換 拉普拉斯變換的性質(zhì) 拉普拉斯變換逆變換 復(fù)頻域分析 一、微分方程的變換解 二、系統(tǒng)函數(shù) 三、系統(tǒng)的 s域框圖 四、電路的 s域模型 點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié) 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 52頁 ■ 電子教案 第五章 連續(xù)系統(tǒng)的 s域分析 頻域分析 以 虛指數(shù)信號 ejωt為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足： （ 1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如 e2tε(t)。 （ 2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。 在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題。 本章引入 復(fù)頻率 s = ζ+jω,以復(fù)指數(shù)函數(shù) est為基本信號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是 復(fù)頻率 s ，故稱為 s域分析 。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 53頁 ■ 電子教案 拉普拉斯變換 一、從傅里葉到拉普拉斯變換 有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子 e?t(?為實(shí)常數(shù)）乘信號 f(t) ，適當(dāng)選取 ?的值，使乘積信號 f(t) e?t當(dāng) t?∞時信號幅度趨近于 0 ，從而使 f(t) e?t的傅里葉變換存在。 相應(yīng)的傅里葉逆變換 為 f(t) e?t= ? ??? ? ????? de)(21 tjb jFFb(?+j?)= ?[ f(t) e?t]= ttfttf tjtjt de)(dee)( )(?? ?????????? ? ????? ??? ??? ???? ?? de)(2 1)( )( tjb jFtf 令 s = ? + j?,d ?=ds/j，有 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 54頁 ■ 電子教案 拉普拉斯變換 ? ??? ?? tetfsF stb d)()(? ?? ??? jj de)(j2 1)( ??? ssFtf stb雙邊拉普拉斯變換對 Fb(s)稱為 f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)）， f(t)稱為 Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。 二、收斂域 只有選擇適當(dāng)?shù)??值才能使積分收斂，信號 f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。 使 f(t)拉氏變換存在 ?的取值范圍稱為 Fb(s)的收斂域。 下面舉例說明 Fb(s)收斂域的問題。 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 55頁 ■ 電子教案 拉普拉斯變換 例 1 因果信號 f1(t)= e?t ?(t) ，求其拉普拉斯變換。 解 ]eelim1[)( 1)(edee)( j)(0)(01ttttssttb sstsF????????????????? ??????? ?????????????????????，無界，不定]Re[,1ss可見，對于因果信號，僅當(dāng)Re[s]=??時，其拉氏變換存在。 收斂域如圖所示。 σjω0 α收斂域 收斂邊界 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 56頁 ■ 電子教案 拉普拉斯變換 例 2 反因果信號 f2(t)= e?t?(t) ，求其拉普拉斯變換。 解 ]eel i m1[)( 1)(edee)( j)(0)(02ttttssttb sstsF???????????????????? ???????? ??????????????????????，不定無界)(1.]R e [,ss可見，對于反因果信號，僅當(dāng)Re[s]=??時，其拉氏變換存在。 收斂域如圖所示。 σjω0 β信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 57頁 ■ 電子教案 拉普拉斯變換 例 3 雙邊信號求其拉普拉斯變換。 ????????0,e0,e)()()(213 tttftftftt??求其拉普拉斯變換。 解 其雙邊拉普拉斯變換 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s) 僅當(dāng) ??時，其收斂域?yàn)? ?Re[s]?的一個帶狀區(qū)域，如圖所示。 σjω0 βα信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 58頁 ■ 電子教案 拉普拉斯變換 例 4 求下列 信號的雙邊拉氏變換。 f1(t)= e3t ?(t) + e2t ?(t) f2(t)= – e 3t ?(–t) – e2t ?(–t) f3(t)= e 3t ?(t) – e2t ?(– t) 解 2131)()(11 ?????? sssFtfRe[s]= ? – 2 2131)()(22 ?????? sssFtfRe[s]= ? – 3 2131)()(33 ?????? sssFtf– 3 ? – 2 可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。 雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 59頁 ■ 電子教案 拉普拉斯變換 通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣， t0時， f(t)=0。從而拉氏變換式寫為 ? ?? ?? 0 de)()( ttfsF st稱為 單邊拉氏變換 。簡稱 拉氏變換 。其收斂域一定是Re[s]? ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。 三、單邊拉氏變換 ? ?? ?? 0d e f de)()( ttfsF st)(de)(j21)( jjd e ftssFtf st ???? ??????? ? ????簡記為 F(s)=163。 [f(t)] f(t)=163。 1[F(s)] 或 f(t)←→ F(s) 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 510頁 ■ 電子教案 拉普拉斯變換 四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換 ?(t) ←→1 ， ? ∞ ?(t)或 1 ←→1/s ， ? 0 指數(shù)函數(shù) es0t ←→ 01ss?? Re[s0] cos?0t = (ej?0t+ ej?0t )/2 ←→ 202 ??sssin?0t = (ej?0t– ej?0t )/2j ←→ 2020???s信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 511頁 ■ 電子教案 拉普拉斯變換 周期信號 fT(t) ? ?????????????????0)1(200de)(.....de)(de)(de)()(nTnnTstTTT
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