三角形中的幾何計(jì)算可歸結(jié)為以下三類問題：1幾何中的長(zhǎng)度(已修改)
2025-10-10 17:21 本頁面
【正文】 一、正弦定理和余弦定理 1 ．正弦定理：asin A＝ ① __ ______ ＝ ② ________ ＝2 R ( R 是 △ ABC 外接圓的半徑 ) ． 2 ．余弦定理： a2＝ ③ _ _______ ， b2＝ ④ _____ __ _ ，c2＝ ⑤ ________. 二、三角形常用面積公式 1 ． S ＝12a h ( h 表示 ⑥ ________) ． 2 ． S ＝ ⑦ ________ ＝12ac sin B ＝ ⑧ ________. 3 ． S ＝abc4 R( R 為 ⑨ ________) ． 4 ． S ＝12r ( a ＋ b ＋ c )( r 為 ⑩ ________) ． 答案： ①bsin B ②csin C ③ b2＋ c2－ 2 bc c os A ④ c2＋ a2－ 2 ca c os B ⑤ a2＋ b2－ 2 ab c os C ⑥ 長(zhǎng)為 a 的邊上的高 ⑦12ab sin C ⑧12bc sin A ⑨ 三角形外接圓半徑 ⑩ 三角形內(nèi)切圓半徑 ? 三角形中的幾何計(jì)算可歸結(jié)為以下三類問題： ? 1．幾何中的長(zhǎng)度問題 ? 把幾何中的線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為三角形的邊長(zhǎng)，在三角形中利用正、余弦定理求解． ? [例 ]如圖所示，已知梯形 ABCD中， ? CD＝ 2， AC＝ ， ∠ BAD＝ 60176。 ， ? 求梯形的高． 解析 ： 解法 1 ： ∵∠ BAD ＝ 60176。 ， ∴∠ ADC ＝ 120176。 . 設(shè) ∠ DCA ＝ θ ，則 ∠ DAC ＝ 60176。 － θ . 在 △ ACD 中，由正弦定理， 得CDsin ? 60176。 － θ ?＝ACsin12 0176。， ∴ sin(60176。 － θ ) ＝CD sin12 0176。AC＝319 . ∴ c os(60176。 － θ ) ＝419. 從而??????? 32c os θ －12sin θ ＝319，12c os θ ＋32sin θ ＝419， ∴ sin θ ＝3 32 19. 由正弦定理，得ADsin θ＝ACsin120176。， ∴ AD ＝AC sin θsin120176。＝19 3 32 1932＝ 3. ∴ 梯形的高為 DE ＝ 3sin60176。 ＝3 32. 解 法 2 ： ∵∠ BAD ＝ 60176。 ， ∴∠ ADC ＝ 120176。 . 在 △ ACD 中， AC ＝ 19 ， CD ＝ 2 ， ∠ ADC ＝ 120176。 ， 由余弦定理，得 AC2＝ AD2＋ DC2－ 2 AD DC c os ∠ ADC ， 即 ( 19 )2＝ AD2＋ 22－ 4 AD c os120176。 . 整理，得 AD2＋ 2 AD － 15 ＝ 0. ∴ AD ＝ 3 或 AD ＝－ 5( 舍去 ) ． ∴ h ＝ AD sin60 176。 ＝3 32. ? 2．幾何中的角度問題 ? 將所求的角度放在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，利用正、余弦定理求解． ? [例 ]在△ ABC中，已知 ab＝ 60， sinA＝cosB， S△ ABC＝ 15，求三個(gè)內(nèi)角． 解析： ∵ S △ABC＝12
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