電大常微分方程模擬試題及答案參考(已修改)
2025-06-20 21:19 本頁面
【正文】 1 常微分方程模擬試題 一、 填空題（每小題 3 分，本題共 15 分） 1．一階微分方程的通解的圖像是 2 維空間上的一族曲線． 2．二階線性齊次微分方程的兩個解 )(),( 21 xyxy 為方程的基本解組充分必要條件是 ． 3．方程 02 ?????? yyy 的基本解組是 ． 4．一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是 區(qū)間． 5．方程 21dd yxy ??的常數(shù)解是 ． 二、 單項選擇題 （每小題 3 分，本題共 15 分） 6．方程 yxxy ?? ? 31dd 滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是（ ）． （ A）上半平面 （ B） xoy平面 （ C）下半平面 （ D）除 y軸外的全平面 7. 方程 1dd ?? yxy （ ）奇解． （ A）有一個 （ B）有兩個 （ C）無 （ D）有無數(shù) 個 8． )(yf 連續(xù)可微是保證方程 )(dd yfxy? 解存在且唯一的（ ）條件． （ A）必要 （ B）充分 （ C）充分必要 （ D）必要非充分 9．二階線性非齊次微分方程的所有解（ ）． （ A）構(gòu)成一個 2 維線性空間 （ B）構(gòu)成一個 3 維線性空間 （ C）不能構(gòu)成一個線性空間 （ D）構(gòu)成一個無限維線性空間 10．方程 323dd yxy? 過點 (0, 0)有（ B ）． (A) 無數(shù)個解 (B) 只有一個解 (C) 只有兩個解 (D) 只有三個解 三、計算題 （每小題６分，本題共 30 分） 求下列方程的通解或通積分： 11. yyxy lndd ? 12. xyxyxy ??? 2)(1dd 13. 5dd xyyxy ?? 14． 0)d(d2 22 ??? yyxxxy 15． 3)(2 yyxy ???? 四、計算題 （每小題 10 分，本題共 20 分） 16．求方程 255 xyy ?????? 的通解． 17．求下列方程組的通解． ???????????xtytytxddsin1dd 五、證明題 （每小題 10 分，本題共 20 分） 18．設(shè) )(xf 在 ),0[ ?? 上連續(xù)，且 0)(lim ???? xfx，求證：方程 )(dd xfyxy ?? 2 的一切解 )(xy ，均有 0)(lim ???? xyx． 19．在方程 0)()( ?????? yxqyxpy 中， )(),( xqxp 在 ),( ???? 上連續(xù)，求證：若 )(xp 恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式 )(xW 是 ),( ???? 上的嚴(yán) 格單調(diào)函數(shù)． 常微分方程模擬試題參考答案 一、 填空題（每小題 3 分，本題共 15 分） 1． 2 2．線性無關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零） 3． xx xe,e 4．開 5． 1??y 二、 單項選擇題 （每小題 3 分，本題共 15 分） 6． D 7． C 8． B 9． C 10． A 三、計算題 （每小 題６分，本題共 30 分） 11． 解 ： 1y? 為常數(shù)解 （ 1 分） 當(dāng) 0?y ， 1?y 時，分離變量取不定積分，得 Cxyy y ?? ?? dlnd （ 3 分） 通積分為 xCy eln ? （ 6 分） 注 ： 1y? 包含在常數(shù)解中，當(dāng) 0c? 時就是常數(shù)解，因此常數(shù)解可以不專門列出。 13． 解 ： 方程兩端同乘以 5?y ，得 xyxyy ?? ?? 45 dd
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