應(yīng)用多元統(tǒng)計分析課后習(xí)題答案高惠璇(第三章部分習(xí)題解答)(已修改)
2025-05-31 03:43 本頁面
【正文】 應(yīng)用多元統(tǒng)計分析 第三章習(xí)題解答 2 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗 31 設(shè) X～ Nn(μ,σ2In), A為對稱冪等陣 ,且 rk(A)=r(r≤n),證明 證明 因 A為對稱冪等陣，而對稱冪等陣的特征值非 0即 1,且只有 r個非 0特征值，即存在正交陣 Γ(其列向量 ri為相應(yīng)特征向量 )，使 3 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 4 其中非中心參數(shù)為 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 5 32 設(shè) X～ Nn(μ,σ2In), A， B為 n階對稱陣 .若 AB ＝ 0 ,證明 X′AX與 X′BX相互獨(dú)立 . 證明的思路： 記 rk(A)=r. 因 A為 n階對稱陣 ,存在正交陣 Γ,使得 Γ ′ AΓ=diag(λ1,… ,λr 0,..,0) 令 Y＝ ?！鋁， 則 Y～ Nn(Γ′ μ,σ2In), 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 且 ??????????riiiYA ΓΓΓYA ΓΓΓYAXX12)( ??6 又因為 X′ BX=Y′ ?！?BΓ Y= Y′ HY 其中 H=?！?BΓ 。如果能夠證明 X′ BX 可表示為 Yr+1， … ,Yn的函數(shù)，即 H只是右下子塊為非 0的矩陣。 則 X′ AX 與 X′ BX相互獨(dú)立。 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 7 證明 記 rk(A)=r. 若 r=n,由 AB＝ O,知 B＝ On n,于是X′AX與 X′BX 若 r=0時 ,則 A＝ 0,則兩個二次型也是獨(dú)立的 . 以下設(shè) 0＜ r＜ A為 n階對稱陣 ,存在正交陣 Γ,使得 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 8 其中 λi≠0 為 A的特征值 (i=1,… ,r).于是 令 r 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 由 AB＝ O可得 DrH11＝ O ， DrH12＝ O . 因 Dr為滿秩陣 ,故有 H11＝ Or r， H12＝ Or (nr) . 由于 H為對稱陣，所以 H21＝ O(nr) r .于是 9 由于 Y1， … ,Yr ,Yr+1 ,… ,Yn相互獨(dú)立，故X′AX與 X′BX相互獨(dú)立 . 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 令 Y＝ ?！?X， 則 Y～ Nn(Γ′ μ,σ2In), 且 ??????????riiiYA ΓΓΓYA ΓΓΓYAXX12)( ????????????????????nrnrYYHYYHYYB ΓΓΓYBXX ??1221 ),(???? B ΓΓH10 設(shè) X～ Np(μ,Σ),Σ＞ 0,A和 B為 p階對稱陣 ,試證明 (Xμ)′ A(Xμ)與 (Xμ)′ B(Xμ)相互 獨(dú)立 ? ΣAΣBΣ＝ 0p p. 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 33 )( 記12121 ?????????????11 由 “ 6”知 ξ與 η相互獨(dú)立 ? 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 OBAOBAOCD??????????????? 2121212112 性質(zhì) 4 分塊 Wishart矩陣的分布 :設(shè) X(α) ～ Np(0,Σ) (α＝ 1,…, n)相互獨(dú)立，其中 又已知隨機(jī)矩陣 則 rpr?????????????22211211),(W~222112111)()( ??????????? ??nrp rWW WWXXW pn???第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 試證明 Wishart分布的性質(zhì) (4)和 T2分布的性質(zhì) (5). 34 13 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 證明 : 設(shè) ? ? ???????????? )()2(|)1(rpnrnijpn XXxX),0(~),0(~則,22)2()(11)1()()2()()1()()( ????????????? rprNXNXrprXXX?????記 , 則 ,)2()2()1()2( )2()1()1()1(22211211 ????????????????????WWWWXXXXXXXXXXW)2()2(),1()1( 2211 XXWXXW ????即 14 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 ).,(~)()2()2(122)2()()2()(22 ??? ????? nrp nWXXXXW???當(dāng) Σ12 =O 時 ,對 α＝ 1,2,…, n, 相互 獨(dú)立 .故有 W11與 W22相互獨(dú)立 . )2()()1()( 與 ?? XX)。,(~)()1()1(111)1()()1()(11 ???????nr nWXXXXW???由定義 15 性質(zhì)
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