數(shù)字信號(hào)處理dsp第二章2z反變換(已修改)
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【正文】 2021/6/14 數(shù)字信號(hào)處理 二、 z反變換 實(shí)質(zhì)：求 X(z)冪級(jí)數(shù)展開式 z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法 長除法 ( ) [ ( )]x n IZ T X z?z反變換 : 從 X(z)中還原出原序列 x(n) ( ) [ ( ) ] ( ) nnX z Z T x n x n z? ?? ???? ?2021/6/14 數(shù)字信號(hào)處理 圍線積分法（留數(shù)法） 根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù) X(z)在環(huán)狀區(qū)域 內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi) X(z)可展開成羅朗級(jí)數(shù)，即 而 其中圍線 c是在 X(z)的環(huán)狀 收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條 反時(shí)針方向的閉合單圍線。 , 0 ,x x x xR z R R R? ? ? ?? ? ? ? ? （）() nn xxnX z C z R z R????? ??? ? ??11 ()2nn cC X z z dzj??? ?Re[ ]zIm[ ]jz0xR? xR?C0 , 1 , 2 ,n ? ? ?2021/6/14 數(shù)字信號(hào)處理 若 F(z)在 c外 M個(gè)極點(diǎn) zm，且分母多項(xiàng)式 z的階次比分子多項(xiàng)式高二階或二階以上，則： 11( ) ( ) ( , )2nxxcx n X z z dz c R Rj? ??????1( ) ( ) nF z X z z ??( ) R e [ ( ) ] kzzkx n s F z ?? ?( ) R e [ ( ) ] mzzmx n s F z ??? ?利用留數(shù)定理求圍線積分，令 若 F(z)在圍線 c上連續(xù)，在 c內(nèi)有 K個(gè)極點(diǎn) zk，則： 2021/6/14 數(shù)字信號(hào)處理 留數(shù)的計(jì)算公式 單階極點(diǎn)的留數(shù)： R e [ ( )] [( ) ( )]rrz z r z zs F z z z F z????2021/6/14 數(shù)字信號(hào)處理 2( ) 1/4 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz????例1： ， ，求其z反 變換Re[ ]zIm[ ]jz0C41/4211( ) ( , )2 ( 4 ) ( 1 / 4 )nxxczx n z dz c R Rj z z? ????????解：211()( 4 ) ( 1 / 4 ) ( 4 ) ( 1 / 4 )nnzzF z zz z z z????? ? ? ?其中： 11()4nF z c z???當(dāng)時(shí)在圍線 內(nèi)只有一階極點(diǎn)14( ) R e [ ( ) ] zx n s F z ?? 1141()4 ( 4 ) ( 1 / 4 )nzzzzz????????????
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