統(tǒng)計與概率102用樣本估計總體(已修改)
2025-05-28 22:39 本頁面
【正文】 ? 重點難點 ? 重點：用樣本的頻率分布估計總體分布；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征． ? 難點：頻率分布直方圖的理解和應(yīng)用． ? 知識歸納 ? 1． 編制頻率分布直方圖的步驟如下： ? ① 求極差：極差是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差． ? ③ 將數(shù)據(jù)分組：通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間，也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組； ② 決定組距和組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過 100 時，常分成 5 ～ 12 組．組距＝極差組數(shù). ? ④ 列頻率分布表：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表． ? 將樣本數(shù)據(jù)分成若干小組，每個小組內(nèi)的樣本個數(shù)稱作頻數(shù)，頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率．頻率反映數(shù)據(jù)在每組 的大?。? ⑤ 繪制頻率分布直方圖：把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組距，然后以線段為底作一矩形，它的高等于該組的頻率組距，這樣得出一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是該組上的頻率．這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖． 所占比例 ? 在頻率分布直方圖中，縱軸表示 “ 頻率 /組距 ” ，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用小矩形的面積表示，各小矩形的面積總和等于 1. ? 2．頻率分布折線圖 ? (1)把頻率分布直方圖各個長方形上邊的中點用線段連接起來，就得到頻率分布折線圖． ? (2)總體密度曲線 ? 如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，則頻率分布直方圖實際上越來越接近于總體的分布，它可以用一條光滑曲線 y＝ f(x)來描繪，這條光滑的曲線就叫總體密度曲線． ? 3．莖葉圖 ? 統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖． ? 莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)． ? 在樣本數(shù)據(jù)較少、較為集中，且位數(shù)不多時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它較好的保留了原始數(shù)據(jù)信息，方便記錄與表示，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時，莖葉圖就不太方便． ? 4．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù) ? (1)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)所得的商就是平均數(shù)． ? (2)中位數(shù)：如果將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序依次排列，當(dāng)數(shù)據(jù)有奇數(shù)個時，處在最中間的一個數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)有偶數(shù)個時，處在最中間兩個數(shù)的平均數(shù)，是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． ? (3)眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù) (若有兩個或幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù) )． ? (4)在頻率分布直方圖中，最高小長方形的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)值即為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．而在頻率分布直方圖上的中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖面積應(yīng)該相等，因而可以估計其近似值．平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和． ? 把樣本方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的樣本標準差． ? (3)數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標準差來描述，其中極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度．方差則反映一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。? 5 ． 方差、標準差 ( 1) 設(shè)樣本數(shù)據(jù)為 x1， x2， ? ， xn樣本平均數(shù)為 x－，則 s2＝1n[( x1－ x－)2＋ ( x2－ x－)2＋ ? ＋ ( xn－ x－)2] ＝1n[( x12＋ x22＋ ?＋ xn2) － n x2] 叫做這組數(shù)據(jù)的方差，用來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，一組數(shù)據(jù)方差越大， 說明這組數(shù)據(jù)波動越大． ? 2．中位數(shù)可能不在樣本數(shù)據(jù)中． ? 3．計算公式用錯或計算錯誤．計算平均數(shù)、方差、標準差等時計算量大，要注意計算結(jié)果的準確性． 誤區(qū)警示 1 ．對頻率分布直方圖和莖葉圖識圖不準是常見的錯誤．在頻率分布直方圖中，小矩形的高＝頻率組距＝頻數(shù)組距 樣本容量. 頻率＝頻率組距 組距＝小矩形的面積． ? 解題技巧 ? 1．樣本頻率直方圖與樣本的數(shù)字特征． ? 在頻率分布直方圖中，平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和；中位數(shù)的估計值，應(yīng)使中位數(shù)左右兩邊的直方圖面積相等；最高小長方形的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)值即為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． ? 2．方差是刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的量，方差越大，這組數(shù)據(jù)波動越大，越分散．討論產(chǎn)品質(zhì)量、售價高低、技術(shù)高低、產(chǎn)量高低、成績高低、壽命長短等等問題，一般都是通過方差來體現(xiàn)． ? (2)數(shù)據(jù) x x ? 、 xn與數(shù)據(jù) x1＋ m、 x2＋m、 ? 、 xn＋ m的方差相等． ? (3)若 x x ? 、 xn的方差為 s2，則 kx1，kx2， ? ， kxn的方差為 k2s2. ? 計算方差時，要依據(jù)所給數(shù)據(jù)的特點恰當(dāng)選取公式以簡化計
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