【正文】 第 3章 振動與沖擊理論基礎 —— 力學基礎（沖擊、振動） 數(shù)學基礎（微分方程、隨機過程） 1 概述 商品破損的原因 : （ 1）沖擊 —— 沖擊過程的時間歷程不能用數(shù)學式描述； 沖擊幅值是多峰狀態(tài) ， 包裝的響應是隨機分布的； 沖擊波的形狀比較復雜 ， 難以用簡單的函數(shù)表達； 沒有明確的沖擊作用時間，很難用脈寬來定量時間； (2) 振動 —— 某個物理量的值在觀測時間內不斷地經(jīng)過極大值和極小值地變化，這種狀態(tài)的改變稱為振動。 機械振動 ——物體在平衡位置附近所做的周期性往復運動，稱為機械振動。（包裝動力學研究的重點） （ 3）氣候條件 （溫濕度、風雨、鹽霧等） （ 4）其他因素 （如有害氣體、熱源、放射源、氣味源和日光照射等） 脆值 機械振動 組成： 振動系統(tǒng) （ 單擺 ） ， 振源 （ 給一初始位移 ） ， 響應 振動問題：已知振源 、 系統(tǒng)特性 ， 求響應 環(huán)境預測：已知系統(tǒng)特性 、 響應 ， 求輸入 系統(tǒng)識別：已知輸入 、 響應 ， 求系統(tǒng)特性 車床 +混凝土機座 彈性墊 振動系統(tǒng) 激勵 響應 實際包裝系統(tǒng) —— 簡化 力學模型 簡化力學模型的原則： （ 1）要正確反映包裝系統(tǒng)的特性； （ 2）在正確反映包裝系統(tǒng)的特性的前提下盡可能簡化模型。 考慮的具體問題： （ 1）包裝產(chǎn)品是均質剛體，還是由多個部件組成？產(chǎn)品的擺放方式？ （ 2）是否考慮外包裝箱的質量和彈性？ （ 3）是否考慮緩沖材料的質量？ （ 4）是否考慮緩沖材料的粘性？ 力學模型 —— 單自由度系統(tǒng) 假設： 被包裝產(chǎn)品為均質剛體 ， 略去外包裝箱的質量和彈性 ， 不計緩沖材料的質量 ， 并視為粘性和阻尼的彈性體 。 m：產(chǎn)品質量 k：緩沖襯墊材料的彈性系數(shù) c：緩沖襯墊材料的粘性阻尼系數(shù) 力學模型 —— 二自由度系統(tǒng) 假設： 略去外包裝箱的質量和彈性 ， 不計緩沖材料的質量 ， 并視為粘性和阻尼的彈性體 。 m1, m2：易損件和產(chǎn)品質量； k1， c1：易損件與產(chǎn)品間的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)； k2， c2：產(chǎn)品主體與外包裝箱間的緩沖材料的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù) 。 力學模型 —— 三自由度系統(tǒng) 假設： 不計緩沖材料的質量 ， 并視為粘性和阻尼的彈性體 。 m1,m2：易損件和產(chǎn)品質量； m3：外包裝箱的質量 （ 外包裝箱很重時 ） ； k1， c1：易損件與產(chǎn)品間的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)； k2， c2：產(chǎn)品主體與外包裝箱間的緩沖材料的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)。 力學模型 —— 多自由度系統(tǒng) 力學模型 —— 多自由度系統(tǒng) 假設：產(chǎn)品疊放在同一包裝箱中或同一產(chǎn)品 有多個關鍵零部件 不計緩沖材料的質量 ， 并視為粘性和 阻尼的彈性體 。 m1,m2… mn：質量； k1， k2… kn：彈性系數(shù)； c1， c2… ：粘性阻尼系數(shù)。 機械振動的分類 （ 1） 按自由度分：單自由度系統(tǒng) ， 二自由度系統(tǒng) ， 三自由度系統(tǒng) ， 多自由度系統(tǒng) ， 連續(xù)介質系統(tǒng)； （ 2） 按系統(tǒng)運動的微分方程分： 線性振動 （ 運動方程為線性微分方程 ） ； 非線性振動 （ 運動方程為非線性微分方程 ） ； （ 3） 按系統(tǒng)輸入類型分： 自由振動：系統(tǒng)只受初干擾或外界激勵取消后 ， 系統(tǒng)僅 在彈性恢復力的作用下產(chǎn)生振動 。 強迫振動：系統(tǒng)在外界激勵下產(chǎn)生的振動； 自激振動：系統(tǒng)在輸入和輸出之間有反饋特性 ， 并有能 量補充而產(chǎn)生的診斷 。 （ 4） 按系統(tǒng)輸出規(guī)律分： 周期振動 隨機振動 2 單自由度線性系統(tǒng)的振動 單自由度線性系統(tǒng)的自由振動 自由振動 —— 振體在受到初干擾（初位移或初速度）后，僅在系統(tǒng)恢復力的作用下在平衡位置附近作往復運動稱為自由振動。 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 (a) (b) (c) 平衡位置 （ 1）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解 圖 （ b） W=F=k （ 21） 圖 （ c） F= k( ) 負號表示力的方向 根據(jù)牛頓第 2定律 F=ma 得振動體的運動微分 方程： W k( )=m 由 （ 21） 得 m = k （ 作用在振動方向的常力只影響振動中心的位置 ， 而不影響振動規(guī)律 ） st?xst ??xst ?? x?x? x（ 1）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解 設 系統(tǒng)的固有特性 ， 固有頻率 ） 得 （ 二階常系數(shù)線性齊次微分方程 ） 解： C， D待定系數(shù) 代入初始條件： 所以 ,得方程的解 mkn /2 ??02 ?? xx n???tDtCx nn ?? s i nc o s ??000 ,0 vxxxxt ???? ??CDCx nn ????? 0s i n0c o s0 ?? 0xC ?000c o s0s i n vxDDCx nnnnn ??????????? ?? ?????nn vxD ?? // 00 ?? ?tvtxx nnn ??? s i n/c o s 00 ??（ 1）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解 令 A振幅：振體偏離振動中心的最大距離 相位角 ， A， 由運動的初始條件定 。 ?s in0 Ax ?tvtxx nnn ??? s i n/c o s 00 ???? c o s/0 Av n ?tAtAtvtxx nnnnn ??????? s i nc o sc o ss i ns i n/c o s 00 ??????)s in ( ?? ?? tA n?2220 s inAx ? ?? 2220 c o s)/( Av n ???? 22222020 c o ss i n)/( AAvx n ???22020 / nvxA ???00 / vxtg n?? ???（ 2）周期、頻率和圓頻率 )s i n ( ?? ?? tAx n周期： 物體作一次完全振動 （ 來回一次 ） 所需的時間稱為振動周 期 ， 用 T表示 ， 則物體在任一時刻 t的運動狀態(tài) （ 位置和 速度 ） 應該與物體在 t+T的運動狀態(tài) （ 位置和速度 ） 相同 —— 運動狀態(tài)具有周期性 )s i n (])(s i n [)s i n ( TtATtAtA nnnn ??????? ???????由于正弦函數(shù)的數(shù)值每經(jīng)過 2π重復一次，故 ?? 2?Tn )(2 sTn??? 頻率： 周期的倒數(shù)稱為頻率。它表示單位時間內（每秒）物體所 作的完全振動的次數(shù)，單位為赫茲（ Hz）。 ??21 nTf ??圓頻率 ：表示振動體在 2π秒內的振動次數(shù) 。 （ 弧度 /秒 ） n?fn ?? 2?（ 2）周期、頻率和圓頻率之間的關系 說明：周期、頻率或固有頻率都是由振動系統(tǒng)本 身的性質所決定的量；這種由系統(tǒng)本身性 質所決定的周期、頻率或圓頻率往往稱為 固有周期