控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析(已修改)
2025-05-26 01:36 本頁面
【正文】 1 本章主要教學(xué)內(nèi)容 ?數(shù)值積分法 的基本原理及其主要內(nèi)容 ?快速仿真算法 的基本原理及其主要內(nèi)容 ?離散相似法 的基本原理及其仿真應(yīng)用 ?線性系統(tǒng) 的仿真方法 ?非線性系統(tǒng) 的仿真方法 ?采樣控制系統(tǒng) 的仿真方法 第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 第 章控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析2 本章教學(xué)目的及要求 ?掌握 數(shù)值積分法和快速仿真算法 的原理及應(yīng)用 ?掌握 離散相似法 的原理應(yīng)用 ?熟悉 線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、采樣系統(tǒng) 的仿真處理過程 第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 3 數(shù)值積分法 系統(tǒng)仿真中最常用、最基本的求解常微分方程數(shù)值解的方法主要是 數(shù)值積分法 。 設(shè)系統(tǒng)常微分方程為： （ 41） 為包含有時間 t和函數(shù) y的表達(dá)式， y0為函數(shù) y在初始時刻 t0時的對應(yīng)初值。我們將求解方程（ 41）中函數(shù) 的問題稱為 常微分方程數(shù)值求解問題 。 ???????00 )(),(ytyytfdtdy),( ytf)(ty第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 4 歐拉（ Euler）法 1． 歐拉公式的推導(dǎo) 將式（ 41）在小區(qū)間上進(jìn)行積分可得： ?????1),(1kkttkk dtytfyy),(),(1kkttythfdtytfkk???其 幾何意義 是把 ),( ytf 在 ],[1?kk tt 區(qū)間內(nèi)的 曲邊面積 用 矩形面積 近似代替，如圖 41所示。 第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 5 tf ( t , y )0f kt k t k +1h圖5 1 歐拉法數(shù)值積分 第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 6 當(dāng) h很小時，可以認(rèn)為造成的誤差是允許的。所以有： ),(1 kkkk ythfyy ???稱之為歐拉公式。 第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 7 特點(diǎn) ： （ 1）歐拉法實(shí)際上是采用 折線代替了實(shí)際曲線 ，也稱之為折線法。 （ 2）歐拉法 計(jì)算簡單，容易實(shí)現(xiàn) 。由前一點(diǎn)值僅一步遞推就可以求出后一點(diǎn)值，所以稱為 單步法 。 （ 3）歐拉法計(jì)算只要給定初始值，即可開始進(jìn)行遞推運(yùn)算，不需要其它信息，因此它屬于 自啟動模式 。 （ 4）歐拉法是一種近似的處理， 存在計(jì)算誤差 ，所以系統(tǒng)的 計(jì)算精度較低 。 第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 8 梯形法 1． 梯形公式 為了彌補(bǔ)歐拉法計(jì)算精度較低的不足，可以采用 梯形面積公式來代替曲線下的定積分計(jì)算 ，如圖 42所示。 依然對式（ 41）進(jìn)行求解，采用梯形法作相應(yīng)近似處理之后，其輸出為： )],(),([2 111 ?????? kkkkkk ytfytfhyy 稱為梯形積分公式 。 第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 9 tf(t,y)0f kt k t k+1hf k+1圖5 2 梯形法數(shù)值積分 第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 10 從中可以看到，在計(jì)算 時，其右端函數(shù)中也含有 ，這種公式稱為 隱式公式 ，不能靠自身解決，需要采用迭代方法來啟動，稱之為 多步法 。可以先采用歐拉公式進(jìn)行預(yù)報(bào)，再利用 梯形公式進(jìn)行校正 。即梯形法的預(yù)報(bào) — 校正公式 ： 1?ky1?ky??????????????)],(),([21),(1)0(111)0(kkkkkkkkkkytfytfhyyythfyy第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 11 2. 梯形法具備以下 特點(diǎn) ： （ 1）采用 梯形代替歐拉法的矩形 來計(jì)算積分面積，其 計(jì)算精度要高于歐拉法 。 （ 2）采用預(yù)報(bào) — 校正公式，每求一個 ， 計(jì)算量 要比歐拉法多一倍。因此 計(jì)算速度較慢 。 （ 3）梯形公式中的 右端函數(shù)含有未知數(shù) ，不能直接計(jì)算左端的變量值，這是一種隱式處理，要利用 迭代法求解 。即梯形法不能自啟動，要靠 多步法來實(shí)現(xiàn)計(jì)算 。 ky第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 12 龍格 — 庫塔 （ Runge— Kutta） 法 1． 龍格 — 庫塔公式 二階龍格 — 庫塔公式 ： ???????????????),( ),( )(2121211hkyhtfkytfkkkhyykkkkkk第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 13 四階龍格 — 庫塔公式 ： ?????????????????????????????),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhtfkkhyhtfkkhyhtfkytfkkkkkhyykkkkkkkkkk第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 14 －庫塔法 特點(diǎn) ： （ 1）為 單步法 ，并且可 自啟動 。 （ 2）改變 仿真步長 比較方便，可根據(jù) 精度要求 而定。 （ 3）仿真 計(jì)算量與仿真步長 h的大小密切相關(guān)， h值越小 計(jì)算精度越高，但所需 仿真時間 也就越長。 （ 4）用泰勒級數(shù)展開龍格－庫塔法計(jì)算公式時，只取 h的一次項(xiàng)，即為 歐拉法 計(jì)算公式；若取到 h2項(xiàng)，則為 二階龍格－庫塔法 計(jì)算公式；若取到 h4項(xiàng)，則為 四階龍格－庫塔法 計(jì)算公式。 第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 15 數(shù)值積分公式的應(yīng)用 【 例 】 已知一階系統(tǒng)的微分方程為： ，初始條件 ，取 仿真步長 h=，分別用 歐拉法、梯形法和龍格 — 庫塔法 計(jì)算該系統(tǒng)仿真第一步的值。 102 ?? ydtdy1)( 00 ?? yty解：原方程可變?yōu)?: ydtdy 210 ??即 ??????1210),(0yyytf kkk第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 16 （ 1）用歐拉法計(jì)算 根據(jù)歐拉公式，將函數(shù)表達(dá)式及其初始值代入后，可得該系統(tǒng)仿真第一步的值： )1210(),( 0001???????? ythfyy第 4章 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真算法分析 17 （ 2）用梯形法計(jì)算： 根據(jù)
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