【正文】 第一部分 概率論部分 第一部分 概率論部分 專題一 事件與概率 I. 考點分析 近幾年試題的考點及分?jǐn)?shù)分布 最多分?jǐn)?shù)分布 最少分?jǐn)?shù)分布 平均分?jǐn)?shù)分布 事件 ② ， 2 1 古典概型 2， 2 2 3 加法公式 2 2 2 條件概率 ② ， 2 ② 3 全概公式 2 1 乘法公式 8 1 獨立重復(fù)試驗 2 2 2 合計 22/100 10/100 17/100 注： ② 表示選擇題及其分?jǐn)?shù)，下同。 II. 內(nèi)容總結(jié) 一、概念 ：不確定現(xiàn)象中的一種。 ： i） 可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行； ii） 每次試驗的結(jié)果不止一個，并事先知道試驗的所有可能結(jié)果； iii） 進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。 ：隨機(jī)試驗的結(jié)果。 點：隨機(jī)試驗的一個不可分的結(jié)果，叫做一個基本事件或一個樣本點； ：所有基本事件的全體稱為樣本空間； 、不可能事件：在每次試驗中一定發(fā)生的事件稱為必然事件，記做 ；每次試驗都不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件，記做 。 二、事件的關(guān)系與運算 （ 1）包含關(guān)系：如果事件 A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生，則事件 B包含事件 A，記做 ；對任何事件C，都有 。 （ 2）相等關(guān)系：若 且 ，則事件 A與 B相等，記做 。 （ 3）互不相容關(guān)系：若事件 A與 B不能同時發(fā)生，稱事件 A與 B互不相容或互斥，可表示為 。 （ 4）對立事件：稱事件 “A 不發(fā)生 ” 為事件 A的對立事件或逆事件，記做 ；滿足 且 。 顯然： ① ； ② ， 。 （ 5）二事件的相互獨立性：若 , 則稱事件 A, B相互獨立； 性質(zhì) 1：四對事件 其一相互獨立，則其余三對也相互獨立； 性質(zhì) 2：若 A, B相互獨立，且 。 （ 1） 事件的和：稱事件 “A ， B至少有一個發(fā)生 ” 為事件 A與 B的和事件，也稱為 A與 B的并 。 性質(zhì)： 。 （ 2）事件的積：稱事件 “A ， B同時發(fā)生 ” 為事件 A與 B的積事件，也稱為 A與 B的交，記做。 性質(zhì)： 。 （ 3）事件的差：稱事件 “A 發(fā)生而事件 B不發(fā)生 ” 為事件 A與 B的差事件，記做 AB. 性質(zhì)： 。 （ 4）事件運算的性質(zhì) （ i）交換律： ； （ ii）結(jié)合律： ； （ iii）分配律： （ iv）摩根律（對偶律） 三、事件的概率 : 相同條件下進(jìn)行 n次試驗，事件 A出現(xiàn) 次，事件 A的頻率為 ； （描述性）：當(dāng) n很大時，事件 A頻率的穩(wěn)定值 p，事件 A的概率 ； 概率的性質(zhì)： ① 對任意事件 A， ； ② ； ③ ； ④ 。 注：事件的概率的精確定義見課本 p11，定義 1－ 1. ：（ 1） 特點： ① 樣本空間是有限的； ② 基本事件發(fā)生是等可能的； （ 2）計算公式 ； ：事件 發(fā)生的條件下事件 A發(fā)生的概率 ； （ 1）全概公式：如果事件 滿足 ① 互不相容且 則對于 內(nèi)的任意事件 B，都有； （ 2）貝葉斯公式：條件同 A，則 ， 。 : （ 1）特點： ① 每次試驗可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； ② 各次試驗相互獨立 ③ 每次試驗只有兩個結(jié)果， ； （ 2）計算公式： n重貝努利試驗中事件 A發(fā)生 k次的概率為 。 、乘法公式 （ 1）加法公式： ① 公式 : ② 推論 1：若事件 A,B互不相容，則 ； 推論 2：若 ； 推論 3：若 A,B為對立事件，則 ； 推論 4：若 , 兩兩互不相容，則 ； （ 2）乘法公式： 。 例 A、 B為任意兩個事件，則有（ ） A.（ A∪B ） B=A B.（ AB） ∪B=A C.（ A∪B ） B A D.（ AB） ∪B A 答案： C 解析：利用文氏圖可得答案。 故選擇 C。 例 A與 B互為對立事件，且 ，則下列各式中錯誤的是（ ） A. B. C. D. 答案： B 解 析：本題考察對立事件、相互獨立事件、互不相容事件概念。 A：對立事件， B：相互獨立事件， C：互不相容事件。 例 3. 設(shè) A， B為兩個隨機(jī)事件，且 ，則 ＝（ ） A. B. C. D. 1 答案： D 解析：本題考察和事 件、條件事件的概念及其概率。 例 A, B滿足 P（ ）＝ ， P（ A）＝ , 則 P（ AB）＝（ ） 答案： B 解析：本題考察差事件的性質(zhì)。 ，所以。 例 p（ ），則在 3次獨立重復(fù)試驗中至少成功一次的概率為（ ） －（ 1－ p） 3 （ 1－ p） 2 C. ＋ p2＋ p3 答案： A 解析：本題考察求 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 類概率的方法 ，即選擇用正面事件還是對立事件能夠簡單地計算概率。本題選擇用對立事件計算。 例 ，有 2件次品，不放回地從中連續(xù)取兩次，每次取一件產(chǎn)品，則第二次到正品的概率為 __________. 答案： 解析： “ 第二次取正品 ” ＝ “ 一次二正 ”∪“ 一正二正 ” ，由加法原理得 P（第二次取正品）＝ P（一次二正）＋ （一正二正）＝ ，故填寫 。 例 ，由甲廠生產(chǎn)的占 ，其次品率為 5%，由乙廠生產(chǎn)的占 ，其次品率為 10%，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)取一件，恰好取到次品的概率為 ___________. 答案： 解析：本題考察 “ 全概率公式 ” 。設(shè)產(chǎn)品由甲、乙廠生產(chǎn)分別為事件 ，產(chǎn)品為次品為事件 B，則由 “ 全概率公式 ” 有 。 例 P（ A）＝ , P（ B）＝ , 且 P（ ）＝ , 求 P（ AB） . 答案： 解析：本題主要考察事件及其概率的運算，綜合了專題一的內(nèi)容。方法：列方程求概率。 解：由條件概率，對立事件的概率，事件運算的對偶律及和事件的概率的公式，有 , 所以， 專題二 一維隨機(jī)變量 近幾年試題的考點分布和分?jǐn)?shù)分布 最低分?jǐn)?shù)分布 最高分?jǐn)?shù)分布 平均分?jǐn)?shù)分布 分布律 2 2 分布函數(shù) 2 4 3 概率密度 ② 3 0－ 1分布 2 二項分布 2 2， 6 泊松分布 1 均勻分布 ② 1 指數(shù)分布 6 1 正態(tài)分布 2 2 期望 ② 3， 2， ① 3 方差 2 2， 2， ① 3 隨機(jī)變量函數(shù) ② ， 8 2， 4 2,2 合計 18/100 42/100 24/100 注：各種分布的數(shù)字特征包含在該種分布 中。 一、隨機(jī)變量的概念 ：設(shè) E是隨機(jī)試驗，樣本空間為 ，如果對于每一個結(jié)果（樣本點） 都有一個實數(shù) 與之對應(yīng)，定義在 上的實數(shù)值函數(shù) 稱為隨機(jī)變量。 ：（ 1）取值的隨機(jī)性，即一次取何值事先未知；（ 2）取值有統(tǒng)計規(guī)律，即取何 值或某范圍內(nèi)的值的概率是完全確定的；（ 3）隨機(jī)變量的作用，從研究事件到研究隨機(jī)變量，從研究常量到研究研究變量，從而過渡到研究函數(shù)。 二、一維隨機(jī)變量 （ 1）定義：設(shè) X是一個隨機(jī)變量， x為任意實數(shù)，稱函數(shù) 為隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)。 （ 2）性質(zhì)： ① ； ② 對任意 都有 ； ③ 是單調(diào)非減函數(shù)； ④ ； ⑤ 右連續(xù)。 ： （ 1）定義：隨機(jī)變量的可能取值是有限個或至多無限可列多個； （ 2）概率分布： ① 分布律 X ? ? 概率 ? ? ② 分布列的性質(zhì)： i） ； ii） （ 3）分布函數(shù)： 。 （ 4）離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ① 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布列為 X ? ? 概率 ? ? 如果級數(shù) 絕對收斂，則稱其為 X的數(shù)學(xué)期望，記為 。 ② 離散型隨機(jī)變量的方差：定義式 : ； 計算式： ③ 離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差： （ 5）常用離散型隨機(jī)變量的分布： A. 兩點分布 ① 分布列 X 0 1 概率 1p p ② 數(shù)學(xué)期望： ③ 方差： 。 B. 二項分布： ① 分布列： ； ② 數(shù)學(xué)期望： ③ 方差： C. 泊松分布： ① 分布列： ? ② 數(shù)學(xué)期望： ③ 方差： （ 1）定義：隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 , 存在非負(fù)可積函數(shù) ，使對任意實數(shù) x有，則稱 X為連續(xù)性隨機(jī)變量， 為概率密度函數(shù)（密度函數(shù)）。 （ 2）密度函數(shù)性質(zhì) ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 設(shè) 的連續(xù)點，則 存在，且 。 （ 3）連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ① 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為 ，如果廣義積分 絕對收斂，則隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望為 。 ② 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：定義式： ； 計算式： ③ 連續(xù)型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差： 。 （ 4） 常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 ： ① 密度函數(shù)： , ② 分布函數(shù)： ， ③ 數(shù)學(xué)期望： , ④ 方差： 。 ： ① 密度函數(shù)： ② 分布函數(shù)： ③ 數(shù)學(xué)期望： ④ 方差： 。 （ A）正態(tài)分布： ① 密度函數(shù)： ② 分布函數(shù)： ③ 數(shù)學(xué)期望： , ④ 方差： ， ⑤ 標(biāo)準(zhǔn)化代換： 若 。 （ B）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： ① 密度函數(shù)： ② 分布函數(shù)： ③ 數(shù)學(xué)期望： ④ 方差： ⑤ 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 a分位數(shù)： ，若 滿足 ，則 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 a分位數(shù)。 （ 1）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) ① 為常數(shù)； ② 為常數(shù)； ③ 為常數(shù)； ④ 為常數(shù)。 （ 2）方差的性質(zhì) ① 為常數(shù)； ② 為常數(shù)； ③ 為常數(shù)； ④ 為常數(shù)。 （ 3）方差的計算公式： （ 1）隨機(jī)變量的函數(shù)：設(shè) X為隨機(jī)變量， 為連續(xù)函數(shù)，則 為隨機(jī)變量 X的函數(shù)。顯然， Y也是隨機(jī)變量。 （ 2）離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè) X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 X ? ? 概率 ? ? 則 的分布律為 Y ? ? 概率 ? ? 注：對 相同者，須合并并把概率相加。 （ 3）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 ：設(shè) X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 。設(shè) 是嚴(yán)格單 調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域為 ，則 的概率密度為 。 ：設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 ，求隨機(jī)變量函數(shù) 的概率密度 。 解法：設(shè) Y的分布函數(shù)為 的反函數(shù)為 ，則 例 X的概率分布為 為其分布函數(shù)，則 = ______. 答案： 解析：本題考核概率分布的性質(zhì)及分布函數(shù)的概念。 根據(jù)分布函數(shù)的定義 ，所以 解法一： 。 解法二： 例 X的概率密度為 ，則 c=___________。 答案： 解析：本題考察一維隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)： 。 本題 ， ，故填 。 例 3. 設(shè)函數(shù) 在 上等于 sinx，在此區(qū)間外等于零，若 可以作為某連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，則區(qū)間 應(yīng)為（ ） A. B. C. D. 答案： B 解析：本題考核連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 的性質(zhì)： 及 。 根據(jù)已知條件函數(shù) 在 上等于 sinx及 sinx在四個象限的正、負(fù)取值，淘汰 A, D選項；再根據(jù)，驗算選項 C， ，淘汰 C；或根據(jù)此性質(zhì)驗算選項 B，直接得到答案。 例 X在區(qū)間 [2， 4]上服從均勻分布 ，則 ＝（ ） . A. B. C. D. 答案： C 例 ，已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值 ，