【正文】 專題 1 新課程理念下“運算教學”的研討 專題簡介 數(shù)與運算在小學數(shù)學課程中占有重要的地位，培養(yǎng)學生基本的運算技能一直是廣大教師關注的問題。在新課程實施中，不少教師產(chǎn)生了疑惑，如“新課程還要不要學生掌握必要的運算技能”“新課程下學生的運算技能大大下降了”，幫助教師對這些疑惑有比較正確的認識無疑是非常重要的。更進一步，我們還需要幫助教師思考：如何科學地培養(yǎng)小學生的運算技能，如何合理地評價他們的運算技能；除了運算技能，“數(shù)與代數(shù)”領域中的重要內容還有什么，“數(shù)與代數(shù)”的核心目標有哪些等更加深刻的問題。 在本主題中，我們將首先進入課堂教學實踐，從分析若干案例入手，引發(fā)對一些問題的思考。在此基礎上，提供一些觀點和建議希望給大家啟發(fā)。最后，我們來到熱點聚焦，分享2020 年春季培訓中和在線研討中老師們們對若干問題的想法，希望他們的想法能僅以激發(fā)老師們思維的碰撞。 引言 對“運算教學”的整體思考 頭腦風暴： 1． 在運算教學中，您對估算教學有哪些思考？ 2．如何處理算理與計算方法的關系？ 3．如何科學地培養(yǎng)小學生的運算技能？ 4． 您對算法多樣化有哪些思考？ 5．在這部分教學中，您印象最深刻的教學現(xiàn)象是什么？您還有哪些 困惑的問題？ 數(shù)與運算在小學數(shù)學課程中占有重要的地位，培養(yǎng)學生基本的運算技能，一直是廣大教師關注的問題?？墒窃谛抡n程理念下的小學數(shù)學運算教學的實施過程中，不少老師遇到了困難，產(chǎn)生了疑惑， 而且有一些問題是帶有普遍性的，比如： 1．估算有什么價值？課上有沒有必要用這么長時間來進行估算教學？ 2．學生的估算意識不強，怎樣培養(yǎng)學生的估算意識？ 3． 估算有沒有統(tǒng)一的評價標準？ 4．運算教學中，新課程提倡“算法多樣化”，但實際教學中，是不是應該讓學生都掌握一個最基本的計算方法？可是這樣做會不會又回到老路子上？ 5．計算教學中， 如何處理算理和計算方法的關系？它們孰輕孰重？ 6．什么是數(shù)感？如何培養(yǎng)學生數(shù)感？ ?? 以上是教師們普遍關心的問題，不難看出，現(xiàn)在老師們關注的問題與實施新課程開始的問題已經(jīng)有了不同。大家開始思考一些實施中新出現(xiàn)的問題。它涉及的是計算教學中整體的、更深層次的問題。關于運算教學，我們聚焦到以下三個問題： ； ； 。 第一講 案例研討 一、關于估算教學的思考 估算在數(shù)學課程中得到了強調，《全日制義務教育課程標準（實 驗稿）》（以下簡稱《標準》）中 在第一、二學段的“數(shù)與代數(shù)”中共有 45 條具體目標，其中有關估算的目標就有 6條。實驗教材也大大增強了估算的份量，教師們更是在估算教學中進行著積極探索。但由于理論研究的缺乏、課程設計及實踐的經(jīng)驗不足，教師們在估算教學和評價中遇到了許多困惑，本專題我們就一起對估算的價值和估算能力的培養(yǎng)進行討論，希望能引起老師們一些思考。 在我們的生活經(jīng)驗當中，估計是非常普遍的。有學者將估計的形式分為了三種：數(shù)量估計（大約有多少，有人稱之為估數(shù)）、測量估計（即我們所說的估測）、計算估計 (即我們所說的估 算 )。這里討論的是估算，先從具體案例入手。需要說明的是，通過案例的討論，并不一定非要取得一個共識，只是希望通過案例引發(fā)老師們的進一步思考。 【案例 1】 “尷尬”的估算 案例描述： 學生已經(jīng)有了一定的估算基礎，在具體情境中讓學生用估算解決問題時，出現(xiàn)了以下三種情境。 情境一： 教師出示以下題目，請學生進行估算。 東方書報亭 10 月上旬的營業(yè)額（單元：元），你能估計出這個月上旬的營業(yè)額嗎？ 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 營業(yè)額 206 201 206 204 205 198 196 198 195 203 生 1：我把這些數(shù)都估成 200， 200 10=2020（元） 生 2：我把 20 205 看作 210，其他的數(shù)都看作 200， 210 3+200 7=2030（元） 其他學生也表示同意，這時一個學生站起來：老師，我也算出來，比他們算得更準確，得 2020 元。 教師應該如何處理呢？ 情境二： 某校期末考試卷上一道估算題： 每個足球 78 元，要買 2 個足球，請你估計 150 元夠嗎？ 閱卷時發(fā)現(xiàn)，學生幾乎全是用精算算出結果的，即 78 2=156（元） 156﹥ 150， 所以不夠。 學生這樣解答算不算對？ 給不給分？ 情境三： （ 1）課上通過一個實際問題，引入了估算。 （ 2）抽象地談在一個算式中，每個數(shù)可以怎么進行估計。 —— “ 388”可以怎么估？（ 380， 390， 400， 300） —— 在 388+120， 388+110 中，你打算分別怎樣估“ 388”，才能不僅快，而且與實際結果相差最?。? 生 1： 388+110， 388 估成 390，因為 10+90 是 100，結果湊成整百。 師：這個方法的結果是不是最接近實際結果呢？ 生 1：是，因為 390 離 388 最近。 生 2：用四舍五入法。 （師再次強調題目要求：又快又與實際結果相差 最少） 生 3： 388+120， 388 估成 380 最方便，因為相加為整百數(shù)。 師：不是離實際結果最近，可以估成 390。 （ 3）最后解決一個實際問題：一班學生 238 人，二班學生 158 個學生， 399 個座位夠嗎？ 學生分 6個小組進行討論后，有 5個小組用了前面所強調的“既湊整算得快，又與實際結果相差得盡可能小”的思路，將 238 估計為 240， 158 估計為 160， 240+160=400，所以399 個座位不夠；有 1 個小組進行了精確計算，發(fā)現(xiàn) 399個座位夠。面對學生不同的答案，教師說道：“確實，有些問題是不能用估算解決的，必須 進行精確計算”。 學生在上完課與教師的交流中這樣說道：“好象只有您的課堂中才用到估算?！苯處熛萑肓藢擂沃?。 討論問題： （ 1） 在實際教學中，學生常常習慣于精確計算，而不愿意進行估算，對于學生缺乏估算意識你有什么想法？ （ 2）估算的價值體現(xiàn)在哪些方面？舉例說明。在培養(yǎng)學生的估算意識中，你有哪些好的經(jīng)驗和做法？ （ 3）在情境三中，教師一直強調“好”的估算的標準是“ 既湊整算得快，又與實際結果相差得盡可能小”，對于這個標準也贊同嗎？估算是否有“統(tǒng)一”標準？ 【案例 2】 TIMSS測試給我們的啟示 案例描述： 關于估算的評價問題，也是廣大一線教師十分關注的問題。在這里向大家介紹 TIMSS國際測試中的幾個估算測試題，希望能引起大家的思考。 TIMSS 測試是由國際教育成就評價協(xié)會發(fā)起和組織的國際教育評價研究和評測活動。在 TIMSS 測試中，有考查學生估算能力的題目，下面是其中的一些： 1．史密斯家每星期的用水量是 6000 升，他家每年的用水量大約是多少升？ 2．約翰想在磁帶上錄 5 首歌，每首歌所用的時間如下表所示： 歌 1 2 3 4 5 時間 2 分 41 秒 3 分 10 秒 2 分 51 秒 3 分 3 分 32 秒 估計一下他錄完這 5 首歌需要多少時間，并解釋你的結果。 3．保羅用 $5去購買牛奶、面包和雞蛋。當他到達商店時，發(fā)現(xiàn)這三種食品的價格如下圖所示： 在下列哪種情況下使用估算比精算有意義？ $5 是否夠用時； ； ； 。 。 在估算或估測過程中，由于每個學生都有自己 的想法，面對同一問題所采取的策略不盡相同，因而估算結果往往是不唯一的，這就涉及估算的評價問題。那么 TIMSS 對估算是如何評價的呢？我們不妨看一下上述第 2 題的評價標準： 正確答案 將每段時間正確地按分鐘取整。如： 3＋ 3＋ 3＋ 3＋ 4 或 3＋ 3＋ 3＋ 3＋ 3 將每段時間正確地近似到 15 或 30 秒，然后相加，沒有顯示計算過程，但有類似于“四舍五入”或“化為整分鐘”的表述 將各段時間都按 3 分鐘相加，然后用 15 分鐘加上 14 秒 其他合理的答案 錯誤答案 每段時間都進行四舍五入，但其中出現(xiàn)了一些錯誤 將 13 分 134 秒改寫成 14 分 34 秒 其他錯誤答案 討論問題： ⑴上面的測試題目對你有哪些啟發(fā)？你有哪些好的測試學生估算能力的題目？你設計這些題目的意圖是什么？ ⑵上面對估算的評價標準你是否贊同？對你有哪些啟發(fā)？你的學校中是如何進行估算評價的？ 二、如何科學地培養(yǎng)學生的運算技能 課程改革以來，不少老師反應學生的運算技能有所下降，并且學生分化情況提前，分化程度加劇，于是提出了“計算教學的有效性”問題。提到有效性，是不是就是要回到“重復性訓練”、“題海戰(zhàn)術”，的做法上去。回答當然是“不”！關鍵是我們需要對 基本運算技能的標準以及運算技能培養(yǎng)的科學化進行深入分析。還是從具體案例談起 ： 【案例 3】：關于“ ”的討論 案例描述： 這是小數(shù)乘法單元中的一節(jié)課，在此之前學生已經(jīng)會計算整數(shù)乘小數(shù)，并了解了小數(shù)點移動的規(guī)律。這節(jié)課在討論具體小數(shù)乘小數(shù)如何計算的基礎上，歸納出如何進行小數(shù)乘小數(shù)的運算。 課上通過一個問題情境，首先引出了 =？ 首先，學生進行了猜想。一部分學生認為是 ，一部分學生認為是 ，產(chǎn)生了分歧。 教師給學生充分思考、計算的空間，交流時學生發(fā)言熱烈。 學生 1：（用畫圖表示 =，如下圖） “我是這樣想的 ,寬是 米 ,不到 1 米 ,所以結果不會是 (平方米 )。我用百格圖，這里的 米代表花園的長， 米表示花園的寬，（表示面積）的這些方格占百格圖的百分之六，所以 結果是 .” 學生 2：“我還有一種方法。把 看成是 2,把 看成是 3,2 乘 3 得 6, 因為我剛才擴大了 100 倍，所以我要再縮小百分之一，得 ?！? 學生 3：“我沒有這么麻煩，不用把兩個數(shù)都擴大，我只把 擴大 10 倍， 2 得 ,再把 縮小到原來的十分之一，就是 . ” 學生 4：“我用豎式。 02 與 3 相乘得 06,任何數(shù)和 0相乘都得 0，所以 和 0 相乘得 00,加起來就是 .”邊說邊寫出了下面的豎式： 0 600 6 學生的方法得到同學們的熱烈的掌聲。隨即有同學問：“為什么不把小數(shù)點加在 0 和 6之間呢？” 學生 5：“我們學過兩位數(shù)乘以兩位數(shù)了，我看成是 03 乘以 02,得數(shù)應當是 006。小數(shù)點‘點’哪兒呢？我認為不會是 ,如果小數(shù)點前有兩個 0,前邊的 0就沒有意義 了 , 小數(shù)點前只能是一個 0,所以是 .” 米 米 學生 6：“ 乘以 10分，取其中的兩份。 的十分之一是 ,也就是一份是 ,兩份就是 .” 學生 7：“ 1，如果 1乘以 ,得 ,而 比 1小，它是 1 的五分之一，所以應當是比 還小?！? 師：這么多種方法計算這個問題，你喜歡哪一種？ ?? 就上面的教學設計和課上實施，一些老師進行了討論： ⑴ 老師的設計給了學生足夠的空間，展示了學生的很多種方法，這些方法都是學生個性化的思考，代表了他們的智慧， 這樣設計能夠發(fā)展學生創(chuàng)造力，而且這些方法有學生各自的思考，能夠跟算理有聯(lián)系。 ⑵ 在將近 20 分鐘的時間里，學生交流了 6 種方法，那么這個在課堂上給予學生充分，探索的時間是非常好的，但是，最后應該落點在什么地方，還是應該讓孩子去掌握這種計算方法，讓他以后做題的時候能一通百通。 ⑶關于算法和算理教師頭腦一定要清楚，老師應該把重點放在算理上，不應該在具體方法上浪費這么多時間。 ⑷ 在運算教學過程當中，算理與算法都是并重的，很重要，但是 40 鐘的課堂是時間有限的，怎樣處理好它們的關系，把重點放在什么位置，這也是我們要思考的 問題。 討論問題： （ 1）小數(shù)乘小數(shù)運算的算理究竟是什么？算理與算法的關系是什么？ （ 2）教師在使學生理解算理上有哪些好的經(jīng)驗和做法，舉例說明。 （ 3）有的老師認為：“畫圖的方法很形象，總不能一直畫下去吧？”，你如何看待這個問題？學生的想法體現(xiàn)出這個片段活動有哪些價值？ 【案例 4】學生常見的錯例 案例描述： 整數(shù)乘法中： 25 3=95；