【正文】 了孩子的遷移能力和數(shù)學(xué)思維能力。我們先后采訪了朝陽(yáng)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)的陳立華老師、石景山特級(jí)教師李祖功和杭州的張?zhí)煨⒗蠋煟纯此麄冊(cè)谟?jì)算教學(xué)當(dāng)中，是如何科學(xué)地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算技能的。 = 8； 247。 ⑶關(guān)于算法和算理教師頭腦一定要清楚，老師應(yīng)該把重點(diǎn)放在算理上，不應(yīng)該在具體方法上浪費(fèi)這么多時(shí)間。小數(shù)點(diǎn)‘點(diǎn)’哪兒呢？我認(rèn)為不會(huì)是 ,如果小數(shù)點(diǎn)前有兩個(gè) 0,前邊的 0就沒(méi)有意義 了 , 小數(shù)點(diǎn)前只能是一個(gè) 0,所以是 .” 米 米 學(xué)生 6：“ 乘以 10分，取其中的兩份。把 看成是 2,把 看成是 3,2 乘 3 得 6, 因?yàn)槲覄偛艛U(kuò)大了 100 倍，所以我要再縮小百分之一，得 。一部分學(xué)生認(rèn)為是 ，一部分學(xué)生認(rèn)為是 ，產(chǎn)生了分歧?；卮甬?dāng)然是“不”！關(guān)鍵是我們需要對(duì) 基本運(yùn)算技能的標(biāo)準(zhǔn)以及運(yùn)算技能培養(yǎng)的科學(xué)化進(jìn)行深入分析。 在估算或估測(cè)過(guò)程中，由于每個(gè)學(xué)生都有自己 的想法，面對(duì)同一問(wèn)題所采取的策略不盡相同，因而估算結(jié)果往往是不唯一的，這就涉及估算的評(píng)價(jià)問(wèn)題。在 TIMSS 測(cè)試中，有考查學(xué)生估算能力的題目，下面是其中的一些： 1．史密斯家每星期的用水量是 6000 升，他家每年的用水量大約是多少升？ 2．約翰想在磁帶上錄 5 首歌，每首歌所用的時(shí)間如下表所示： 歌 1 2 3 4 5 時(shí)間 2 分 41 秒 3 分 10 秒 2 分 51 秒 3 分 3 分 32 秒 估計(jì)一下他錄完這 5 首歌需要多少時(shí)間，并解釋你的結(jié)果。 討論問(wèn)題： （ 1） 在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生常常習(xí)慣于精確計(jì)算，而不愿意進(jìn)行估算，對(duì)于學(xué)生缺乏估算意識(shí)你有什么想法？ （ 2）估算的價(jià)值體現(xiàn)在哪些方面？舉例說(shuō)明。 （ 3）最后解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：一班學(xué)生 238 人，二班學(xué)生 158 個(gè)學(xué)生， 399 個(gè)座位夠嗎？ 學(xué)生分 6個(gè)小組進(jìn)行討論后，有 5個(gè)小組用了前面所強(qiáng)調(diào)的“既湊整算得快，又與實(shí)際結(jié)果相差得盡可能小”的思路，將 238 估計(jì)為 240， 158 估計(jì)為 160， 240+160=400，所以399 個(gè)座位不夠；有 1 個(gè)小組進(jìn)行了精確計(jì)算，發(fā)現(xiàn) 399個(gè)座位夠。 師：這個(gè)方法的結(jié)果是不是最接近實(shí)際結(jié)果呢？ 生 1：是，因?yàn)?390 離 388 最近。 教師應(yīng)該如何處理呢？ 情境二： 某校期末考試卷上一道估算題： 每個(gè)足球 78 元，要買 2 個(gè)足球，請(qǐng)你估計(jì) 150 元夠嗎？ 閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生幾乎全是用精算算出結(jié)果的，即 78 2=156（元） 156﹥ 150， 所以不夠。需要說(shuō)明的是，通過(guò)案例的討論，并不一定非要取得一個(gè)共識(shí)，只是希望通過(guò)案例引發(fā)老師們的進(jìn)一步思考。但由于理論研究的缺乏、課程設(shè)計(jì)及實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)不足，教師們?cè)诠浪憬虒W(xué)和評(píng)價(jià)中遇到了許多困惑，本專題我們就一起對(duì)估算的價(jià)值和估算能力的培養(yǎng)進(jìn)行討論，希望能引起老師們一些思考。它涉及的是計(jì)算教學(xué)中整體的、更深層次的問(wèn)題。最后，我們來(lái)到熱點(diǎn)聚焦，分享2020 年春季培訓(xùn)中和在線研討中老師們們對(duì)若干問(wèn)題的想法，希望他們的想法能僅以激發(fā)老師們思維的碰撞。在新課程實(shí)施中，不少教師產(chǎn)生了疑惑，如“新課程還要不要學(xué)生掌握必要的運(yùn)算技能”“新課程下學(xué)生的運(yùn)算技能大大下降了”，幫助教師對(duì)這些疑惑有比較正確的認(rèn)識(shí)無(wú)疑是非常重要的。更進(jìn)一步，我們還需要幫助教師思考：如何科學(xué)地培養(yǎng)小學(xué)生的運(yùn)算技能，如何合理地評(píng)價(jià)他們的運(yùn)算技能；除了運(yùn)算技能，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的重要內(nèi)容還有什么，“數(shù)與代數(shù)”的核心目標(biāo)有哪些等更加深刻的問(wèn)題。 引言 對(duì)“運(yùn)算教學(xué)”的整體思考 頭腦風(fēng)暴： 1． 在運(yùn)算教學(xué)中，您對(duì)估算教學(xué)有哪些思考？ 2．如何處理算理與計(jì)算方法的關(guān)系？ 3．如何科學(xué)地培養(yǎng)小學(xué)生的運(yùn)算技能？ 4． 您對(duì)算法多樣化有哪些思考？ 5．在這部分教學(xué)中，您印象最深刻的教學(xué)現(xiàn)象是什么？您還有哪些 困惑的問(wèn)題？ 數(shù)與運(yùn)算在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中占有重要的地位，培養(yǎng)學(xué)生基本的運(yùn)算技能，一直是廣大教師關(guān)注的問(wèn)題。關(guān)于運(yùn)算教學(xué)，我們聚焦到以下三個(gè)問(wèn)題： ； ； 。 在我們的生活經(jīng)驗(yàn)當(dāng)中，估計(jì)是非常普遍的。 【案例 1】 “尷尬”的估算 案例描述： 學(xué)生已經(jīng)有了一定的估算基礎(chǔ)，在具體情境中讓學(xué)生用估算解決問(wèn)題時(shí)，出現(xiàn)了以下三種情境。 學(xué)生這樣解答算不算對(duì)？ 給不給分？ 情境三： （ 1）課上通過(guò)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，引入了估算。 生 2：用四舍五入法。面對(duì)學(xué)生不同的答案，教師說(shuō)道：“確實(shí)，有些問(wèn)題是不能用估算解決的，必須 進(jìn)行精確計(jì)算”。在培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)中，你有哪些好的經(jīng)驗(yàn)和做法？ （ 3）在情境三中，教師一直強(qiáng)調(diào)“好”的估算的標(biāo)準(zhǔn)是“ 既湊整算得快，又與實(shí)際結(jié)果相差得盡可能小”，對(duì)于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)也贊同嗎？估算是否有“統(tǒng)一”標(biāo)準(zhǔn)？ 【案例 2】 TIMSS測(cè)試給我們的啟示 案例描述： 關(guān)于估算的評(píng)價(jià)問(wèn)題，也是廣大一線教師十分關(guān)注的問(wèn)題。 3．保羅用 $5去購(gòu)買牛奶、面包和雞蛋。那么 TIMSS 對(duì)估算是如何評(píng)價(jià)的呢？我們不妨看一下上述第 2 題的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)： 正確答案 將每段時(shí)間正確地按分鐘取整。還是從具體案例談起 ： 【案例 3】：關(guān)于“ ”的討論 案例描述： 這是小數(shù)乘法單元中的一節(jié)課，在此之前學(xué)生已經(jīng)會(huì)計(jì)算整數(shù)乘小數(shù)，并了解了小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的規(guī)律。 教師給學(xué)生充分思考、計(jì)算的空間，交流時(shí)學(xué)生發(fā)言熱烈。” 學(xué)生 3：“我沒(méi)有這么麻煩，不用把兩個(gè)數(shù)都擴(kuò)大，我只把 擴(kuò)大 10 倍， 2 得 ,再把 縮小到原來(lái)的十分之一，就是 . ” 學(xué)生 4：“我用豎式。 的十分之一是 ,也就是一份是 ,兩份就是 .” 學(xué)生 7：“ 1，如果 1乘以 ,得 ,而 比 1小，它是 1 的五分之一，所以應(yīng)當(dāng)是比 還小。 ⑷ 在運(yùn)算教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，算理與算法都是并重的，很重要，但是 40 鐘的課堂是時(shí)間有限的，怎樣處理好它們的關(guān)系，把重點(diǎn)放在什么位置，這也是我們要思考的 問(wèn)題。 = 四則混合運(yùn)算中： 327（ 27+75） =375 87 2247。 朝陽(yáng)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)陳立華老師的經(jīng)驗(yàn) 她認(rèn)為學(xué)生對(duì)基本概念的理解是提高計(jì)算正確率的基礎(chǔ)；有效的訓(xùn)練是提高學(xué)生計(jì)算正確率的保障。我們?cè)谥v計(jì)算的時(shí)候，不單純地是講算理、講算法，那為什么有時(shí)候老師或孩子們都有這樣的困惑：覺(jué)得計(jì)算就是很單調(diào)的、很枯燥的，其原因就是我們就題講題了，就方法講方法了。 石景山特級(jí)教師李祖功的經(jīng)驗(yàn) ⑴口算練習(xí)是這個(gè)提高計(jì)算能力的非常有效的方法。效果也不甚理想?？谒阌?xùn)練的材料，不是平均使用力量，要從錯(cuò)誤率及后繼學(xué)習(xí)作用兩方面來(lái)考慮。 討論問(wèn)題： ，與他進(jìn)行談話，了解這位學(xué)生思考的過(guò)程和錯(cuò)誤的原因。 方法④ ： 500+25 525 175+25 － 200 325 方法⑤：用豎式。實(shí)際上為學(xué)習(xí)估算就奠定基礎(chǔ)。我覺(jué)得這個(gè)事學(xué)生想得特別巧，這是最好減的一個(gè)數(shù)了，所以我覺(jué)得這個(gè)小孩或許在他處理問(wèn)題的過(guò)程當(dāng)中，可能在減很多不好減的數(shù)的時(shí)候，都用一個(gè)最好減的數(shù)去減，然后他只用一個(gè) 1，同樣給調(diào)整過(guò)來(lái)，使差不變。首先是對(duì)估算價(jià)值的認(rèn)識(shí)，即估算在人們的日常生活中，在孩子們的學(xué)習(xí)中有怎樣的作用。通過(guò)對(duì)家長(zhǎng)的訪談，我們看到從事各種職業(yè)的人士，都認(rèn)同估算的價(jià)值。因此，估算作為數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)方面的一個(gè)新內(nèi)容，或者說(shuō)一個(gè)重要的方面提出來(lái)，是有道理的。這也是估算的重要應(yīng)用。 （ 4）估算對(duì)學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要作用 估算在學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有一個(gè)非常重要的位置，并且是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本思想，通常我們叫近似或者逼近。 附：家長(zhǎng)訪談 新藥研發(fā)工作者：我覺(jué)得估算價(jià)值挺大的，因?yàn)槲沂亲鲂滤幯邪l(fā)的，一個(gè)新藥大概要投資下十億到十五億美元這樣一個(gè)范圍，風(fēng)險(xiǎn)很大，所以一定要有一個(gè)大概的估計(jì)，而且中國(guó)人是那種直覺(jué)性思維方式非常好的，估計(jì)性的能力相對(duì)來(lái)說(shuō)可能是比較強(qiáng)的，我覺(jué)得或多或少的會(huì)用到估算，就是你在確定方向的時(shí)候，覺(jué)得很有用。 目前“估算”從學(xué)生角度來(lái)講的主要問(wèn)題有兩個(gè)：一是學(xué)生不知道什么選擇用估算，往往學(xué)生一看見有“大約”，就開始估了。下面提幾條具體的教學(xué)建議。比如，三位數(shù)除以兩位數(shù)，你估一估這道題，它的商是幾位數(shù)？這個(gè)問(wèn)題就有價(jià)值。這顯然是錯(cuò)誤的。久而久之，學(xué)生估算的意識(shí)就會(huì)不斷加強(qiáng)。 41，學(xué)生算的結(jié)果商是 21，他馬上發(fā)現(xiàn) 8000 多除以 40 多，商不可能是兩位數(shù)，肯定是算錯(cuò)了，他就去進(jìn)一步檢查哪里發(fā)生錯(cuò)誤。學(xué)生通過(guò)不斷地體會(huì)估算給他帶來(lái)的幫助和好處，從而不斷地提升他們估算的意識(shí)。 估算教學(xué)，是一個(gè)新的內(nèi)容，我們沒(méi)有積累更多的經(jīng)驗(yàn)。 2．形成估算策略 首先，我們結(jié)合北京市石景山區(qū)古二小王靜燕老師的課例來(lái)談學(xué)生估算策略培養(yǎng)。 教師追問(wèn)：能不能像前邊同學(xué)那樣對(duì)于某件商品只取一個(gè)與它近似的整數(shù)進(jìn)行輸機(jī)呢？（不能）現(xiàn)在我們就來(lái)進(jìn)行一下收銀員的工作，精確地這些商品到底價(jià)值多少錢？ +++++=98. 90（元） 4）請(qǐng)大家思考：顧客和收銀員同是計(jì)算這些商品的總價(jià)錢，那么在具體做法上有什么不同？ 5）生活中有很多問(wèn)題都是用估算的方法來(lái)解決的，回想一下我們的生活，在哪些時(shí)候用到過(guò)估算。 生 2：把這六個(gè)數(shù)都看成 40， 40 6=240（人）。 生 2：都看成 40，就估高了，要比 240 少。 這節(jié)課的后半 段也是非常精彩，學(xué)生用了那么多種不同的策略來(lái)進(jìn)行估算，可謂是精彩紛呈。經(jīng)驗(yàn)積累是重要的，有時(shí)候不是老師講會(huì)的，需要學(xué)生自己不斷地反思和調(diào)整原有的 認(rèn)識(shí)?？吹竭@個(gè)準(zhǔn)確結(jié)果，你們有什么想法？”這樣又一次引起了同學(xué)們熱烈地討論，當(dāng)學(xué)生把自己的估算結(jié)果和精確值進(jìn)行比較的時(shí)候，同時(shí)也和其他同學(xué)的 估算結(jié)果進(jìn)行比較的時(shí)候，就發(fā)現(xiàn)了精確結(jié)果的大致范圍。 ② 取一個(gè)中間數(shù)。 ④ 尋找區(qū)間。 學(xué)生根據(jù)不同的情況，采取不同估計(jì)的策略，這是對(duì)學(xué)生估算能力的一種很好地培養(yǎng)過(guò)程。只要你估算的結(jié)果，和實(shí)際要求解決問(wèn)題的結(jié)果是一致的，就應(yīng)當(dāng)算正確。高年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)有了一定的估算經(jīng)驗(yàn)，就要引導(dǎo)他不斷地進(jìn)行再反思，再調(diào)整，把估算的結(jié)果能落在更趨于合理的位置上。如 TIMSS 測(cè)試題很有意思，史密斯家每星期的用水量是 6000 升，他家每年的用水量大約是多少升？”讓學(xué)生從下面選項(xiàng)中選擇答案。教師不要急于給予評(píng)判，給孩子一種寬松的氛圍，讓孩子不斷地學(xué)會(huì)調(diào)整，不斷地學(xué)會(huì)反思，提升孩子這種判斷的能力。希望老師們能夠嘗試著出一些好題目，提出一些好問(wèn)題，有利于學(xué)生估算 意識(shí)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生估算策略的選擇，不斷地提升學(xué)生的估算的能力。我們不能想像一個(gè)連基本的計(jì)算原理和方法都模糊不清的學(xué)生能夠靈活、簡(jiǎn)便地進(jìn)行計(jì)算，會(huì)具有較強(qiáng)的計(jì)算能力； 一 些教師認(rèn)為，算理非常重要，在計(jì)算過(guò)程中讓學(xué)生會(huì)說(shuō)一整套的程序化的語(yǔ)言，以表明學(xué)生對(duì)算理的理解，這種任意拔苗助長(zhǎng)的做法也是不可取的。以前我們只把運(yùn)算定律用到簡(jiǎn)算上，其實(shí)運(yùn)算律不僅僅在此，更重要的是它能夠保證整個(gè)計(jì)算的正確 性，取得唯一的結(jié)果。運(yùn)算法則，來(lái)自于算理；學(xué)生在做計(jì)算的時(shí)候是基于運(yùn)算法則的，法 則通常又要滿足運(yùn)算律，這就是我們平時(shí)講課時(shí)應(yīng)做到明確算理，掌握法則。誤把這樣一個(gè)計(jì)算的過(guò)程當(dāng)作了算理。所以，算理為法則提供理論依據(jù)，法則又使算理具體化。 ⑶關(guān)于 這個(gè)案例的討論 具體到 ，孩子們做了各種推理，上面的這些方法都是把算理和法則融合在一起，有很高的思考價(jià)值。在具體直觀的圖中，學(xué)生理解了算理。作為教師，在課堂上，應(yīng)該好好地保護(hù)學(xué)生這種可貴的創(chuàng)造精神。 我們?cè)賮?lái)看一節(jié)兩位數(shù)乘一位數(shù)豎式計(jì)算的案例，執(zhí)教者是杭州的特級(jí)教師丁杭纓老師。 生獨(dú)立探索（略） 師：誰(shuí)來(lái)解釋一下，他是怎么想的？ ⑴ 20 3=60 ⑵ 2 1 1 3 =3 3 60+3= 63 6 3 生 1：他是先把 21 分成兩份，一份是 20，一份是 1，然后用 3 乘 20 等于 60，還有 3 乘 1等于 3， 3 加 60 等于 63。 師：你們聽明白了嗎？ 生：聽明白了。謝謝你給我們一個(gè)豎式，本來(lái)是我要教的，結(jié)果你一寫上來(lái)，就變成你教大家了，看明白了嗎？ 師：那我們來(lái)看這個(gè)豎式，他這個(gè)豎式是很有創(chuàng)