【正文】 24 5=100 除數(shù)是小數(shù)除法中： 247。 = 8； 247。 = 四則混合運(yùn)算中： 327（ 27+75） =375 87 2247。 87 2=1 討論問題： （ 1）學(xué)生在計(jì)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤問題的原因是什么？ 有的老師把學(xué)生的錯(cuò)誤歸結(jié)為“注意力不集中，馬虎”，您同意他的看法嗎？嘗試分析這些錯(cuò)誤中的合理成分，以及錯(cuò)誤的可能原因。 （ 2）你在課堂中是否愿意“暴露”學(xué)生的錯(cuò)誤？為什么？在幫助學(xué)生改正錯(cuò)誤的過程中，你有哪些經(jīng)驗(yàn)？ 【案例 5】科學(xué)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算技能的經(jīng)驗(yàn) 案例描述： 其實(shí)，在 運(yùn)算教學(xué)中，有不少老師積累了成功的經(jīng)驗(yàn)。我們先后采訪了朝陽區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)的陳立華老師、石景山特級(jí)教師李祖功和杭州的張?zhí)煨⒗蠋?，看看他們?cè)谟?jì)算教學(xué)當(dāng)中，是如何科學(xué)地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算技能的。 朝陽區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)陳立華老師的經(jīng)驗(yàn) 她認(rèn)為學(xué)生對(duì)基本概念的理解是提高計(jì)算正確率的基礎(chǔ)；有效的訓(xùn)練是提高學(xué)生計(jì)算正確率的保障。 ⑴基本概念的理解是提高計(jì)算正確率的基礎(chǔ)。 在計(jì)算中，基本概念就是數(shù)位、計(jì)數(shù)單位和進(jìn)率，尤其是計(jì)數(shù)單位這個(gè)概念，對(duì)于計(jì)數(shù)來講是非常重要的，我們可以梳理一下整數(shù)加減法、小數(shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法，應(yīng)該說它們最 核心 、最本質(zhì)的就是相同的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減，核心概念如果掌握了，在課堂上對(duì)孩子來講，就創(chuàng)造了一定的前提條件。在這個(gè)過程中，不但建立了知識(shí)和知識(shí)之間的關(guān)系，而且更重要的是培養(yǎng)了孩子的遷移能力和數(shù)學(xué)思維能力。我們?cè)谥v計(jì)算的時(shí)候，不單純地是講算理、講算法，那為什么有時(shí)候老師或孩子們都有這樣的困惑：覺得計(jì)算就是很單調(diào)的、很枯燥的，其原因就是我們就題講題了，就方法講方法了。 ⑵有效的訓(xùn)練是提高計(jì)算正確率的保障。 心理學(xué)指出，根據(jù)計(jì)算形成的各階段的特點(diǎn)，應(yīng)適當(dāng)?shù)胤峙渚毩?xí)的次數(shù)和時(shí)間，技能的形成和鞏固需要有足夠的練習(xí) 次數(shù)和時(shí)間，但是并非練習(xí)的次數(shù)越多，時(shí)間越長，練習(xí)的效果就越好。 根據(jù)這個(gè)原則，我們提出了交錯(cuò)訓(xùn)練，也就是說把計(jì)算的練習(xí)量，安排在了平時(shí)的每一天，和我們后面要講的新知識(shí)結(jié)合在一起，比如說后面要講應(yīng)用題了，孩子們前面已經(jīng)掌握了算理和算法，后面一節(jié)課我們就可以這樣安排， 30 分鐘的時(shí)間講應(yīng)用題，后面的 10分鐘我們就可以做一、兩道計(jì)算題；一般來講，在計(jì)算教學(xué)的一段時(shí)間，講完算理和算法以后，每天早晨我們會(huì)做四到六道題的計(jì)算，課堂當(dāng)中可以做一、兩道題，這樣隨著時(shí)間的拉長，練習(xí)的量會(huì)逐漸地減少，比如說在以后就可能是一周練 習(xí)兩到三次，那么一次一兩道題，這樣基本一個(gè)月下來，錯(cuò)題率就能保證在 2％左右。 石景山特級(jí)教師李祖功的經(jīng)驗(yàn) ⑴口算練習(xí)是這個(gè)提高計(jì)算能力的非常有效的方法。 ⑴ 把基本口算抓好（ 20 以內(nèi)加減法、表內(nèi)乘除法）； ⑵ 練習(xí)的針對(duì)性：一天一組一組地根據(jù)問題練，問題越練越少； 如： 小數(shù)加法減法學(xué)生容易丟數(shù)，一般給學(xué)生準(zhǔn)備三組題，先單練一組，時(shí)間很短，也非常有針對(duì)性，幫助學(xué)生找出錯(cuò)誤原因；第二次反復(fù)練就達(dá)到一種認(rèn)識(shí)掌握，再練第三組是熟練掌握。 一般老師可能都是一練就是練一組 20 題，練完一糾正就完了，但如果把它分為三 組，每組可能就 5道題，題目很少，但是針對(duì)一個(gè)問題，錯(cuò)了之后學(xué)生有一個(gè)改錯(cuò)、再認(rèn)識(shí)的機(jī)會(huì)，最后一組再進(jìn)行熟練，這樣每天的這個(gè)效果肯定非常突出，非常明顯。 張?zhí)煨⒗蠋熀吞撇时箨P(guān)于運(yùn)算技能的對(duì)話 唐彩斌 ：口算訓(xùn)練是一項(xiàng)需要長期堅(jiān)持的教學(xué)任務(wù)，在教學(xué)中，老師們也有自己的一些個(gè)性訓(xùn)練方法，我曾經(jīng)做過這樣的“蠢事”，當(dāng)初剛學(xué)會(huì)電腦，為了出口算題的方便，就利用電腦的替換功能，這張口算紙上的 6 改成 7，原來的 8 改成 4，就這樣通過替換，就非?！案咝А钡爻隽撕芏嗟目谒阌?xùn)練，結(jié)果是“高興了自己，害苦了學(xué)生”。效果也不甚理想。每每想 起，感覺很慚愧。您覺得應(yīng)該怎樣進(jìn)行口算的訓(xùn)練？ 張?zhí)煨?：加強(qiáng)口算，不等于增大機(jī)械重復(fù)的口算題量，而要做到口算訓(xùn)練的科學(xué)化，做到適時(shí)、適量、適度。有效地提供訓(xùn)練材料，選擇訓(xùn)練時(shí)機(jī)，注意訓(xùn)練方法，考慮訓(xùn)練周期?？谒阌?xùn)練的材料，不是平均使用力量，要從錯(cuò)誤率及后繼學(xué)習(xí)作用兩方面來考慮。比如， 100以內(nèi)兩位數(shù)加一位數(shù)進(jìn)位加法共 369題，對(duì)進(jìn)位加法本身來說，這些題的口算訓(xùn)練價(jià)值是等同的。但對(duì)后繼學(xué)習(xí)（多位數(shù)乘法計(jì)算）的作用來說，口算訓(xùn)練價(jià)值就不一樣。 在多位數(shù)乘法計(jì)算中，涉及兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法的題共 60 題，占總題量 的 60％，比如 748 7，要用到 28＋ 5， 49＋ 3 兩道口算題，這 60 道口算題的訓(xùn)練就應(yīng)增加題量。 討論問題： ，與他進(jìn)行談話，了解這位學(xué)生思考的過程和錯(cuò)誤的原因。 ，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算技能的經(jīng)驗(yàn)、做法或困惑。 三、 關(guān)于算法多樣化的思考 談到科學(xué)地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算技能，我們不得不面對(duì)這個(gè)話題 —— 算法多樣化，算法多樣化進(jìn)入我們的視野已有五年了，大家對(duì)算法多樣化有很多想法，也有諸多困惑： ⑴ 算法多樣化與過去提到的“一題多解”有什么不同？ ⑵ 在算法多樣化的教學(xué)中，要不 要給學(xué)生推薦一種最基本的方法，讓全體都掌握？ ⑶ 在教學(xué)中，如何把握算法多樣化與“優(yōu)化”的關(guān)系？ 我們還是從課例開始。 【案例 6】 500－ 175＝ ? 課上通過一個(gè)問題情境，引出了 500－ 175＝ ? 學(xué)生一共出現(xiàn)了 5 種方法： 方法①： 500－ 200=300 ， 300＋ 25=325； 方法②：學(xué)生畫出下面的圖 方 法③： 500=499+1， 499 － 175 324 所以 500175=325。 方法④ ： 500+25 525 175+25 － 200 325 方法⑤：用豎式。 討論問題： （ 1）面對(duì)本例中學(xué)生的那么多算法，你的感想是什么？算法多樣化的價(jià)值到底有哪些？ （ 2）這些算法中是否有最優(yōu)的？衡量的標(biāo)準(zhǔn)是什么？ 就案例中幾種計(jì)算方法的價(jià)值，我們采訪了北京五中 數(shù)學(xué)特級(jí)教師張毅老師。 主持人： 以上案例中學(xué)生出現(xiàn)了這么多的算法， 您有什么感受？ 張毅： 學(xué)生能夠用這么多種方法解決一道在咱們眼里司空見慣的一道題，我覺得這些小孩那種沒有被束縛的頭腦，他們的想象力超出我的想像，我覺得學(xué)生能夠出現(xiàn)這么多種算法，是一件非?？上埠椭档梅Q贊的一件事。 主持人： 您怎么看學(xué)生這幾種不同方法的價(jià)值？ 張毅： 第一種方法把減數(shù) 175湊整，成為 200，減掉了 200怎么辦呢？等于多減了，后面再給它補(bǔ)回來，所以在小孩的腦子里，他覺得不好減的東西，先要找一個(gè)好減的，然后再把這個(gè)數(shù)最后找回來，所以我覺得這在解決問題當(dāng)中是非常有用的。實(shí)際上為學(xué)習(xí)估算就奠定基礎(chǔ)。 第二種 方法用圖示去解決。這個(gè)孩子的幾何直觀能力，可能在將來會(huì)顯現(xiàn)出來，就是用圖去解決數(shù)的問題，應(yīng)該說真正到高中才完全系統(tǒng)地在這些幾何的教學(xué)中去呈現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合，現(xiàn)在他這么小就能夠通過一個(gè)圖式的方式，去完成一個(gè)計(jì)算問題，我覺得這是一個(gè)非常好的萌芽，或許說孩子他認(rèn)識(shí)世界不僅從數(shù)去看待，他同時(shí)也從形去看待；如果我們?cè)谝婚_始，在他剛剛接觸到的任何東西，都去激發(fā)他這種認(rèn)識(shí)，或許我覺得在他的將來，能夠突破一些我們?cè)械恼J(rèn)識(shí)，很直觀地去解決一些我們認(rèn)為需要呆板計(jì)算的問題。 第三種方法，他先找到一個(gè)認(rèn)為最好減的數(shù)，就是用 500 去 減不好減，他用 499 減，接著再把這個(gè) 1找回來。我覺得這個(gè)事學(xué)生想得特別巧，這是最好減的一個(gè)數(shù)了，所以我覺得這個(gè)小孩或許在他處理問題的過程當(dāng)中，可能在減很多不好減的數(shù)的時(shí)候，都用一個(gè)最好減的數(shù)去減，然后他只用一個(gè) 1，同樣給調(diào)整過來，使差不變。 第四種方法好像跟第一種方法有異曲同工之效，只不過他自己把減數(shù)和被減數(shù)同時(shí)增加一個(gè)相同的數(shù)，我覺得可能在他眼里這么做會(huì)更巧更簡單，他在這個(gè)過程當(dāng)中實(shí)際上把減數(shù)湊整，而在湊整的同時(shí)，他讓那個(gè)被減數(shù)隨之增加，所以我覺得教師有必要去挖掘?qū)W生背后的東西，價(jià)值更大，在同學(xué)中相互影響 的教育意義也更豐富。 我們想張毅老師的想法一定會(huì)給大家以啟發(fā)。 專題 1 新課程理念下運(yùn)算教學(xué)的研討 第二講 觀點(diǎn)分享 一、關(guān)于估算教學(xué)的思考 在估算教學(xué)中，我們分成三個(gè)層面進(jìn)行討論。首先是對(duì)估算價(jià)值的認(rèn)識(shí)，即估算在人們的日常生活中，在孩子們的學(xué)習(xí)中有怎樣的作用。其次，在課堂教學(xué)這個(gè)層面當(dāng)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的這種估算的意識(shí)，幫助學(xué)生選擇合適的估算策略，掌握估算的方法，提高估算技能。最后是如何對(duì)學(xué)生的估算結(jié)果進(jìn)行客觀公正的評(píng)價(jià)，即估算的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。 （ 1）估算在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用 隨著現(xiàn)在科 技的飛速發(fā)展，很多事實(shí)際上不可能也不需要都來進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算。通過對(duì)家長的訪談，我們看到從事各種職業(yè)的人士，都認(rèn)同估算的價(jià)值。曾經(jīng)有一個(gè)學(xué)者做過一個(gè)統(tǒng)計(jì)，一個(gè)人在日常生活當(dāng)中精確計(jì)算，和粗略估計(jì)算的機(jī)會(huì)來比，后者多得多。例如，我們每個(gè)家庭要計(jì)劃自己家庭的收入和支出，這就需要估計(jì)；一個(gè)商場，它的營業(yè)額是多少，它的利潤如何，這要進(jìn)行大致的預(yù)測，這也是估計(jì)；企業(yè)對(duì)經(jīng)營的產(chǎn)品或者銷售額也要進(jìn)行估計(jì)；又如現(xiàn)在北京市公交車輛特別多，那么公交部門的運(yùn)輸能力到底是多少，不一定很精確計(jì)算，也需要大致做估計(jì)；再比如，現(xiàn)在大城市流動(dòng) 人口很多，到底流動(dòng)人口是多少，我們?cè)谧鼋y(tǒng)計(jì)時(shí)也要做一些估計(jì)，一般來講尾數(shù)就省略不計(jì)了。綜上所述，我們可以得出生活離不開估算。因此，估算作為數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)方面的一個(gè)新內(nèi)容，或者說一個(gè)重要的方面提出來，是有道理的。 （ 2）估算為判斷計(jì)算器、口算和筆算結(jié)果是否合理提供了依據(jù) 估算為判斷計(jì)算器計(jì)算得是否準(zhǔn)確，包括孩子們口算、筆算的結(jié)果是否合理，提供了重要的依據(jù)。小學(xué)生開始使用計(jì)算器，計(jì)算器按出來一般的結(jié)果都是準(zhǔn)確的，但有時(shí)候由于操作失誤可能會(huì)出現(xiàn)問題，如果學(xué)生有了估算的意識(shí)和能力，就能很快發(fā)現(xiàn)計(jì)算器計(jì)算結(jié)果的取值范圍 是否合理，可以馬上改過來。 過去我們要用加減法的互逆關(guān)系和乘除法的互逆關(guān)系來驗(yàn)算，現(xiàn)在就可以用估算的方法來檢驗(yàn)結(jié)果。這也是估算的重要應(yīng)用。 （ 3）估算有利于人們事先來把握運(yùn)算結(jié)果的范圍，是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的一個(gè)重要的途徑 估算是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的有效途徑之一，也是保證計(jì)算正確的重要環(huán)節(jié)，尤其對(duì)提高學(xué)生的計(jì)算能力很有益處，計(jì)算前進(jìn)行估算，可以估計(jì)出大致結(jié)果，為計(jì)算的準(zhǔn)確性創(chuàng)設(shè)條件；計(jì)算后進(jìn)行估算，能判斷計(jì)算有無錯(cuò)誤并找出錯(cuò)誤的原因，及時(shí)糾正。在學(xué)生的日?？谒愫凸P算過程中，無論是計(jì)算前估算或者是計(jì)算后估算，都有一定的價(jià) 值，比如說拿到一道題，還沒算之前，先估算一下，大概它的范圍是多少，這有利于學(xué)生進(jìn)行合理的判斷。另外從思維角度來講，對(duì)培養(yǎng)孩子快速的判斷和推理能力，也有一定的好處。 （ 4）估算對(duì)學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要作用 估算在學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有一個(gè)非常重要的位置，并且是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本思想，通常我們叫近似或者逼近。比如在初中，我們都學(xué)了一個(gè)數(shù)的平方等于 2，那么這個(gè)數(shù)就是叫做 2 ，那么 2 是一個(gè)實(shí)數(shù)，但是我們?cè)谌粘Ｉ钪?，總不能說一個(gè)人的身高是 2 ，那么通常我們總說它是 ～ ，這樣別人可以了解你的這個(gè)具體的身高，所以說在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中，包括在數(shù)學(xué)的計(jì)算中，常常會(huì)需要用近似，用估計(jì)來解決問題，并且它這個(gè)估計(jì)的結(jié)果符合我們實(shí)際的要求。 確實(shí)在我們數(shù)學(xué)的發(fā)展過程當(dāng)中，估算也占有重要的地位，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要的幫助，特別是發(fā)展學(xué)生近似的意識(shí)，估算的這種意識(shí)的培養(yǎng)，也是非常重要的。 總之，作為數(shù)學(xué)教師，我們只有更加深刻地去感受，去領(lǐng)悟估算在我們生活工作中的價(jià)值，我們才能自 覺地在我們的教學(xué)當(dāng)中，很好地去培養(yǎng)學(xué)生的這種估算的意識(shí)，估算的能力，很好地去發(fā)展學(xué)生在這方面的一些創(chuàng)造能力。 附：家長訪談 新藥研發(fā)工作者：我覺得估算價(jià)值挺大的，因?yàn)槲沂亲鲂滤幯邪l(fā)的，一個(gè)新藥大概要投資下十億到十五億美元這樣一個(gè)范圍，風(fēng)險(xiǎn)很大，所以一定要有一個(gè)大概的估計(jì)，而且中國人是那種直覺性思維方式非常好的，估計(jì)性的能力相對(duì)來說可能是比較強(qiáng)的，我覺得或多或少的會(huì)用到估算，就是你在確定方向的時(shí)候，覺得很有用。 幼兒園工作者：我覺得應(yīng)該有吧，比如吃飯，我經(jīng)常會(huì)遇到這種情況，因?yàn)橛袝r(shí)候開的發(fā)票不是很準(zhǔn)確，你又希 望這個(gè)價(jià)格很準(zhǔn)確，但是大腦運(yùn)作得又太慢，加菜單的時(shí)候太慢，所以我覺得這個(gè)應(yīng)該挺有價(jià)值的，就是從生活角度。有時(shí)候你不可能當(dāng)著朋友面算算算半天，擱那兒摳摳半天，但是也確實(shí)那個(gè)餐廳也有過這種情況，他可能給