【正文】 ? 167。 21 引言 ? 167。 22 Z變換的定義及收斂域 ? 167。 23 Z反變換 ? 167。 24 Z變換的基本性質(zhì)和定理 ? 167。 25 Z變換與拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系 ? 167。 26 傅氏變換的一些對(duì)稱性質(zhì) ? 167。 27 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng) 167。 21 引言 信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法有時(shí)域、變換域兩種。 一 .時(shí)域 分析法 ： 信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算，時(shí)域分解，經(jīng)典時(shí)域 分析法，近代時(shí)域分析法，卷積積分。 ： 序列的變換與運(yùn)算，卷積和，差分方程 的求解。 二 .變換域 分析法 ： 信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析、復(fù)頻域 分析。 ： Z變換， DFT(FFT)。 Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。 ????????nnznxnxZzX )()]([)(167。 22 Z變換的定義及收斂域 一 .Z變換定義： 序列的 Z變換定義如下： ????? ?jSezezSTTj?, *實(shí)際上，將 x(n)展為 z1的冪級(jí)數(shù)。 二 .收斂域 : 使序列 x(n)的 z變換 X(z)收斂的所有 z值的 集合稱作 X(z)的收斂域 . ： X(z)收斂的充要條件是 絕對(duì)可和。 ????????? Mznxnn)(即： (1).預(yù)備知識(shí) 阿貝爾定理 : 如果級(jí)數(shù) ，在 收斂 ,那么 ,滿足 0≤ |z||z+|的 z,級(jí)數(shù)必絕對(duì)收 斂。 |z+|為最大收斂半徑。 )0( ?? ?zz??? 0)(nnznx]Re[z]Im[ zj?z]Re[z]Im[ zj?z同樣 ,對(duì)于級(jí)數(shù) ，滿足 的 z， 級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂。 |z_|為最小收斂半徑。 ????0)(nnznx???? zz0 n2 n1 n (n) . . . x(2).有限長(zhǎng)序列 ??? ???nnnnnxnx其他,0),()( 21。)(,)()( 2121nnnznxznxzX nnnnn ?????? ???? ，若?。)( 21 nnnznx n ????? ，是有界的，必有考慮到平面”。即所謂“有限，外的開域也就是除所以收斂域，則只要時(shí)，同樣，當(dāng)，則只要時(shí)，因此，當(dāng)zzzzzzzznzzzznnnnnnn),0(,00,00,/10??????????????????????]Re[z]Im[ zj???????11,0),()(nnnnnxnx? ? ?????????? ???1 110)()()()(nn nn nnnn znxznxznxzXx(n) n 0 n1 . . 1 ... 3. 右邊序列 *第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，第二項(xiàng)為 z的負(fù)冪級(jí)數(shù) , ?xR]Re[z]Im[ zj收斂域 第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列 ,其收斂域?yàn)?0|z|∞。 第二項(xiàng)為 z的負(fù)冪次級(jí)數(shù)，由阿貝爾定理可知 , 其收斂域?yàn)? Rx|z|≤∞。 兩者都收斂的域亦為 Rx|z|∞。 Rx為 最小 收斂半徑。 (4)因果序列 它是一種最重要的右邊序列 ,由阿貝爾 定理可知收斂域?yàn)椋? ??????0,00),()(nnnxnx???? zR x????????????????2210)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzX(5)左邊序列 ??????22,0),()(nnnnnxnxx(n) 0 n n 2 ???? xRz0故收斂域?yàn)??? z0 ?xR]Re[z]Im[ zj?? ? xRz?第二項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列 ,其收斂域 。 第一項(xiàng)為 z的正冪次級(jí)數(shù)，根據(jù)阿貝爾定理 , 其收斂域?yàn)? 。 為 最大 收斂半徑 . ??? xRz0 雙邊序列指 n為任意值時(shí) ,x(n)皆有值的序列，即 左 邊序列 和右 邊序列之和。 ? ??????????????? ???01)()()()(n nnnnn znxznxznxzX(6)雙邊序列 0 n ??x 第二項(xiàng)為左邊序列，其收斂域?yàn)椋? 第一項(xiàng)為右邊序列 (因果 )其收斂域?yàn)椋? ??? xRz0?? xRz?xR]Re[z]Im[ zj?xR當(dāng) RxRx+時(shí)，其收斂域?yàn)? ?? ?? xx RzR)()( nnx ??021 ?? nn1)()]([ 0 ??? ?????? ZZnnZ nn??其收斂域應(yīng)包括 即 充滿 整個(gè) Z平面。 ,0 ??? zz,0 ??? z[例 21] 求序列 的 Z變換及收斂域。 解：這相當(dāng) 時(shí)的有限長(zhǎng)序列， ?? nnnnnnnnnazazazazzaznuazX)()(1)()()(1211010?????????????????????? ???)()( nuanx n?當(dāng) 時(shí)，這是無(wú)窮 遞縮 等比級(jí)數(shù)。 az ?為解析函數(shù)，故收斂。外，為極點(diǎn)，在圓。)(111,111zXazazazzazqaSazq???????????[例 22] 求序列 的 Z變換及收斂域。 解： *收斂域一定在模 最大 的極點(diǎn)所在的圓外。 ]R e[ z]Im [ zj?za0收斂域： az ?[例 23]求序列 變換及收斂 域。 111 1 2 1( ) ( 1 )( ) ( )n n n n n nn n nnX z b u n z b z b zb z b z b z? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ?)1()( ???? nubnx n同樣的，當(dāng) |b||z|時(shí)，這是無(wú)窮 遞縮 等比級(jí)數(shù)，收斂。 ]Re[z]Im[ zjb收斂域： bz ?*收斂域一定在模 最小 的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)。 bzzzbzbzX???????111)(故其和為 167。 23 Z反變換 一 .定義 ： 已知 X(z)及其收斂域 ,反過來(lái)求序列 x(n) 的變換稱作 Z反變換。 )]([)( 1 zXZnx ??記作：),(,)(21)(,)()(1?????????????????xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX?反：正：]Im[ zj]Re[z?xR?xRz變換公式 ： C為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線 . 0 c 由留數(shù)定理可知 ： ??????????? ?? ???????cmzznnckzznnmkzzXsdzzzXjzzXsdzzzXj])([Re)(21])([Re)(211111?? 為 c內(nèi)的第 k個(gè)極點(diǎn)， 為 c外的第 m個(gè)極點(diǎn)， Res[ ]表示極點(diǎn)處的留數(shù)。 mzkz二 .求 Z反變換的方法 當(dāng) Zr為 l階 (多重 )極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)： rrzznlrllzznzzXzzdzdlzzXs?????????])()[()!1(1])([Re1111留數(shù)的求法： 當(dāng) Zr為 一 階極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)： rr zznrZZn zzXzzzzXs ???? ?? ])()[(])([Re 11[例 24] 已知 解 : 1）當(dāng) n≥ 1時(shí) , 不會(huì)構(gòu)成極點(diǎn)，所以這時(shí)C內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn) 因此 441,)41)(4()(2????? zzzzzX)41)(4()(11??????zzzzzXnn1?nz41?rz1,4151414)41()]41)(4/([Re)(1411?????????????nzzzsnxnnzn