【正文】 （ 2020年Ｃ題全國(guó)一等獎(jiǎng)） 輸油管 線 布置 的最優(yōu)設(shè)計(jì) 摘 要 我國(guó)是能源消耗大國(guó)，石油輸油管的建設(shè)是一個(gè)投資巨大的工程，優(yōu)化輸油管線的鋪設(shè)可以節(jié)約成本，具有十分明顯的經(jīng)濟(jì)意義。本文針對(duì) 鐵路線一側(cè) 兩煉油廠及 鐵路線上增建一個(gè)車站，考慮 油管的布置問題，利用函數(shù)偏導(dǎo)求極值和數(shù)學(xué)軟件 mathlab、 lingo 的計(jì)算機(jī)優(yōu)化模擬， 建立了管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。 問題一，針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離 a、 b和兩煉油廠間距離 l 的各種不同情形，得出管線建設(shè)費(fèi)用最省時(shí)交匯 點(diǎn) E的坐標(biāo)（ x， y）關(guān)于 a、 b、 l 的普遍關(guān)系式：221222221242222 4ppa b lxppa b lypp? ??? ?????? ??? ?? 這種模式具有一定的普遍性。 問題二，由問題一模型的延伸，在城區(qū)引入合理 附加費(fèi) 萬元 /千米，綜合實(shí)際情況后以總 費(fèi)用最省為目標(biāo)建立模型，用 lingo軟件模擬結(jié)果得：當(dāng)兩廠管線交匯點(diǎn) E位于（ ， ）時(shí)，管線建設(shè)費(fèi)用最省為 萬元，管線建設(shè)的總線長(zhǎng)為 ，同時(shí)也得出了此種情形下的各段管線的相關(guān)參數(shù)。 問題三， 在該實(shí)際問題中， 為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用， 各段管線的單位造價(jià)可根據(jù)自身生產(chǎn)能力造來選擇，綜合實(shí)際情況后以總 費(fèi)用最省為目標(biāo)建立模型，用 lingo 軟件模擬結(jié)果得：當(dāng)兩廠管線交匯點(diǎn) E 位于（ ， ）時(shí)，管線建設(shè)費(fèi)用最省為 ，管線建設(shè)的總線長(zhǎng)為 ，同時(shí)也得出了此種情形下的各段管線的相關(guān)參數(shù)。 這類模型解決了 輸油管的布置的問題，具有一定的推廣性，還可以解決一些像煤氣管線、自來水管線、污水管道線，電力電纜的鋪設(shè)設(shè)計(jì)等。 關(guān)鍵詞： 輸油管線布置 優(yōu)化模型 二元函數(shù)極值一、 問題重述 某油田計(jì)劃在鐵路 線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。 1. 針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計(jì)方案。在方案設(shè)計(jì)時(shí)，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形。 2. 設(shè)計(jì)院目前需對(duì)一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中 A廠位于郊區(qū)（圖中的 I 區(qū)域）， B 廠位于城區(qū)（圖中的 II 區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示 的距離（單位：千米）分別為 a = 5， b = 8， c = 15， l = 20。 若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米 萬元。 鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請(qǐng)三家工程咨詢公司（其中 公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)） 進(jìn)行了估算。估算結(jié)果如下表所示： 請(qǐng)為設(shè)計(jì)院給出管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。 3. 在該實(shí)際問題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相 適應(yīng)的油管。這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送 A廠成品油的每千米 ，輸送 B廠成品油的每千米 ，共用管線費(fèi)用為每千米 ，拆遷等附加費(fèi)用同上。請(qǐng)給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。 二、 問題分析 我國(guó)處于迅速發(fā)展時(shí)期，是能源消耗大國(guó)，能源建設(shè)項(xiàng)目眾多，進(jìn)行最優(yōu)配置設(shè)計(jì)對(duì)節(jié)約成本來講數(shù)目十分可觀。輸油管優(yōu)化布置方案設(shè)計(jì)降低了建設(shè)成本，具有現(xiàn)實(shí)意義。本題要解決的是如何設(shè)計(jì) 管線鋪設(shè)使得總費(fèi)用最省， 圍繞輸油管線 最優(yōu) 設(shè)計(jì)、總費(fèi)用最小得原則，對(duì) A， B煉油廠 和車站位置進(jìn)行分析求解。 對(duì)于問題一，考慮到兩煉油廠 和車站的地址 可以在鐵路線的一側(cè)任意選擇，且 它們所在區(qū)域看作近似一個(gè)平面，可以通過建立坐標(biāo)系將其轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué) 模型 ，定義 A、 B兩廠和車站，通過計(jì)算管線總長(zhǎng)的中間量，求總管線費(fèi)用，以 管線建設(shè)費(fèi)用最省 為 目標(biāo)建立優(yōu)化模型，進(jìn)行求解，在通過偏導(dǎo)方法對(duì)模型進(jìn)行深一步的分析， 或通過數(shù)學(xué)軟件優(yōu)化， 進(jìn)一步分析在兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形。 問題二 ， 際上是問題一的延伸，可以在問題一 的 模型上改進(jìn)。對(duì)于三個(gè)咨詢公司給出的評(píng)估數(shù)據(jù)，可以直接取用，帶有一點(diǎn)的主觀性，為了數(shù)據(jù)取樣更有說服力，采用了對(duì)三個(gè)咨詢公司給出的 評(píng)估數(shù) 加權(quán)平均值 ，通過矩陣求解得到更合理的數(shù)值。 根據(jù)題中給出情形，構(gòu)工程咨詢公司 公司一 公司二 公司三 附加費(fèi)用（萬元 /千米） 21 24 20 造兩點(diǎn)間距離公式，得出目標(biāo)函數(shù)，利用 lingo軟件進(jìn)行函數(shù)最小優(yōu)化 ，求出管線建設(shè)費(fèi)用最少方案。 對(duì)于問題三， 實(shí)際是更一般性的模型，也可以如同問題二一樣求解。 符號(hào)說明 ： Z：表示管線建設(shè)費(fèi)用； A：表示 A廠位于坐標(biāo)系中的位置； a：表示 A廠到鐵路線的垂直距離，即 A點(diǎn)的縱坐標(biāo)； B：表示 B廠位于坐標(biāo)系中的位置； l ：表示 A、 B兩廠沿著鐵路的距離，即 B點(diǎn)的橫坐標(biāo)； b：表示 B廠到鐵路線的垂直距離，即 B點(diǎn)的縱坐標(biāo)； E：表示 A、 B兩廠輸油管的匯集點(diǎn) ,坐標(biāo)用（ x， y）表示； F1：表示管線與城區(qū)分界線的交點(diǎn)，坐標(biāo)為（ 15， y2）； S： 表示 管線的總長(zhǎng)； 1p ：表示 A廠 非公用管線費(fèi)用； 2p ：表示公用管線費(fèi)用； 3p ：表示鋪設(shè)在城區(qū)管線的附加費(fèi)用； 4p ：表示 B廠 非公用管線費(fèi)用； K：表示鐵路線上的車站，坐標(biāo)為（ xS， 0）。 三、 模型假設(shè) 將所考慮的區(qū)域近似看作一個(gè)平面； 兩個(gè)煉油廠和車站均近似看作為平面上的點(diǎn)，分別用點(diǎn) A、 B、 K表示； 在所考慮的區(qū)域內(nèi)鐵路線為直線 CD，新建車站可以在鐵路線的任意位置； 兩個(gè)煉油廠的地址可以在鐵路線的一側(cè)任意選擇； 不考慮自然條件的制約，假設(shè)區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)之間均可以以直線連接； 假設(shè)聘請(qǐng)的三家咨詢公司估計(jì)出來的數(shù)值可信。 模型的建立與求解 問題一： 根據(jù)假設(shè) 1 和 2，以鐵路線 CD為 X軸，以煉油廠 A到 X軸的垂線作 Y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖 1 所示）： A煉油廠的坐標(biāo)為（ 0， a）， B煉油廠的坐標(biāo)為（ l， b）（不妨設(shè) ab）， A、 B兩廠管道線匯合點(diǎn) E的坐標(biāo)為（ x， y）， K表示車站，容易知道，只有在 EK垂直于 X軸時(shí) EK的長(zhǎng)度最短，所以 K的坐標(biāo)為（ x， 0）。 圖 1 看圖分 析可知，管道線的總長(zhǎng) : S A E K E B E? ? ? （一） 假設(shè)非共用管線的費(fèi)用 1p 和共用管線費(fèi)用 2p 相等，同為 P（ P） 0） , 那么，當(dāng) S最小時(shí)，總費(fèi)用最小。現(xiàn)在以總費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)，以 x,y為決策變量，建立數(shù)學(xué)模型： ? ? ? ? ? ?2 2 22Z S p x a y l x b y y p??? ? ? ? ? ? ? ? ????? 約束條件： 00 xlyb???? 問題歸結(jié)為：在指定區(qū)域內(nèi)，當(dāng) x、 y為何值 時(shí)， Z取得最小值。 2 2 2 2()( ) ( ) ( )z x x l px a y x b y l x????? ? ? ? ? ? 2 2 2 2( 1 )( ) ( ) ( )z y a y b py a y x b y l x? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 令 0zx??? 和 0zy???，化簡(jiǎn)后得 ： 2 2 2 2( ) ( ) ( )l x a y x b y? ? ? ? （ 1） 8 6 2 4 4 83 ( ) 8 ( ) 6 ( )y a y a x x y a x? ? ? ? ? ? （ 2） 即： 8 6 43 ( ) 8 ( ) 6 ( ) 1 0y a y a y ax x x? ? ?? ? ? ? 解此方程得 2 1()3yax? ? 33ya y a xx?? ? ? ? ? ? 這是過（ 0， a）且傾斜角為 150度和 30度的兩條直線 再由（ 1）代入上式，得 2 1()3bylx? ?? 所以 33bylx? ??? 即 ： 3 ()3y b x l? ? ? ? 這是過點(diǎn)（ l ， b） ,傾斜角為 30度和 150度的兩條直線。 根據(jù) 本題的求最小值的要求，取 33y a x? ?? 和 3 ()3y b x l? ? ?兩條直線的交點(diǎn)，即： 兩管道線匯合點(diǎn) E的坐標(biāo)為（ x， y） 是 3 ()333y b x ly a x? ? ? ????? ? ? ??? （ 3） , 解得 ： 3 ( )22326a b lxa b ly? ???????? ???? （ 4） 即 管線建設(shè)費(fèi)用最省時(shí)交匯點(diǎn) E的坐標(biāo)（ x， y） 是關(guān)于 a， b， l的函數(shù)。 再將它們代入約束條件： 00 xlyb???? 得： 33abl? ? ， 33bal? ? （ 5） 也就是說： ① 當(dāng) A 、 B兩廠之間的位置符合上述條件（ 5）的時(shí)候，管道的鋪設(shè)線路如圖 1所示，且 兩管道線匯合點(diǎn) E的坐標(biāo)為（ 3( )22a b l? ? ， 326a b l? ? ） 。 如果 A 、 B兩廠之間的位置不符合上述條件（ 5），那么 E的坐標(biāo)需要根據(jù)具體情況確定： ② 若 bal? 33 即 l? 3( )ba? 時(shí)