冪法和反冪法求矩陣特征值課程設(shè)計(已修改)
2025-09-06 14:40 本頁面
【正文】 題目 冪法和反冪法求矩陣特征值 具 體 內(nèi) 容 隨機(jī)產(chǎn)生一對稱矩陣，對不同的原點(diǎn)位移和初值 (至少取 3 個 )分別使用冪法求計算矩陣的主特征值及主特征向量，用反冪法求計算矩陣的按模最小特征值及特征向量，并比較不同的原點(diǎn)位移和初值說明收斂。 要求 ，了解問題的數(shù)學(xué)原形； ； ； ； 采用方法 及結(jié)果 說明 對于冪法和反冪法求解矩陣特征值和特征向量的問題將從問題分析，算法設(shè)計和流程圖，理論依據(jù)，程序及結(jié)果進(jìn)行闡述該問 題。 一．問題的分析： 求 n階方陣 A的特征值和特征向量，是實(shí)際計算中常常碰到的問題， 如：機(jī)械、結(jié)構(gòu)或電磁振動中的固有值問題等 。對于 n階矩陣 A，若存在數(shù) ? 和n維向量 x滿足 Ax=? x （ 1） 則稱 ? 為矩陣 A的特征值， x為相應(yīng)的特征向量。 由高等代數(shù)知識可知，特征值是代數(shù)方程 |? IA|=? n +a1 ? 1?n +… +a 1?n ? +an =0 （ 2） 的根。從表面上看，矩陣特征值與特征向量的求解問題似乎很簡單，只需求解方程（ 2）的根，就能得到特征值 ? ，再解齊次方程組 （ ? IA） x=0 （ 3） 的解，就可得到相應(yīng)的特征向量。 上述方法對于 n 很小時是可以的。但當(dāng) n 稍大時，計算工作量將以驚人的速度增大，并且由于計算帶有誤差，方程（ 2）未必是精確的特征方程，自然就不必說求解方程（ 2）與（ 3）的困難了。 冪法 是一種計算矩陣主特征值（矩陣按模最大的特征值）及對應(yīng)特征向量的迭代方法， 特別是用于大型稀疏矩陣。 反冪法是計算海森伯格陣或三 角陣的對應(yīng)一個給定近似特征值的特征向量的有效方法之一。 二．算法設(shè)計及流程圖 冪法算法 （ 1）取初始向量 u )0( （例如取 u )0( =(1,1,… 1)T ） ,置精度要求 ? ，置 k=1. （ 2）計算 v )(k =Au )1(?k ,mk =max(v )(k ), u )(k = v )(k / mk （ 3）若 | mk = m 1?k |? ，則停止計算（ mk 作為絕對值最大特征值 1? ， u )(k 作為相應(yīng)的特征向量）否則置 k=k+1，轉(zhuǎn)（ 2） 反冪法算法 （ 1）取初始向量 u )0( （例如取 u )0( =(1,1,… 1)T ） ,置精度要求 ? ，置 k=1. （ 2）對 A作 LU分解，即 A=LU （ 3）解線性方程組 Ly )(k =u )1(?k ,Uv )(k =y )(k （ 4）計算 mk =max(v )(k ), u )(k = v )(k / mk （ 5）若 |mk =m 1?k |? ，則停止計算（ 1/
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