課程設(shè)計(jì)---hermite插值法的程序設(shè)計(jì)及應(yīng)用(已修改)
2025-06-09 15:15 本頁(yè)面
【正文】 課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 題 目： Hermite 插值法的程序設(shè)計(jì)及應(yīng)用 學(xué) 生 姓 名 ：畢美喬 學(xué) 院 ： 理學(xué)院 班 級(jí)：信計(jì) 09 2 指 導(dǎo) 教 師 ： 李 曉 瑜 任文秀 2020 年 1 月 5 日 學(xué)校代碼： 10128 學(xué) 號(hào)： 202020905009 摘要 Hermite 插值是數(shù)值分析中的一個(gè)重要內(nèi)容，在相同的節(jié)點(diǎn)下得到比拉格朗日插值更高次的插值多項(xiàng)式，而且，相應(yīng)的曲線在部分節(jié)點(diǎn)處也更光滑 .在我們所學(xué)課程中，只給出了當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)均已知時(shí)的 Hermite 插值 .但在實(shí)際應(yīng)用中，并不是所有節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)都是已 知的 .為此，通過(guò)查閱文獻(xiàn)、學(xué)習(xí)總結(jié)，給出了更具一般性的 Hermite 插值公式 .已有的 Hermite 插值公式成為本文所得結(jié)果的一個(gè)特例 . 本次課程設(shè)計(jì)，對(duì) Hermite 插值法進(jìn)行了總結(jié) ,包括 Hermit插值法的理論推導(dǎo)，不同情形下的例，以及在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 .同時(shí)也給出了 Hermite插值公式的 Matlab算法 . 關(guān)鍵詞 Hermite 插值； Matlab 實(shí)現(xiàn)；數(shù)值分析目錄 引言 ............................................................... 1 第一章 Hermite插值 ................................................. 2 167。 Hermite插值的概念 ........................................ 2 167。 Hermite插值簡(jiǎn)單情形 ...................................... 3 167。 .................................. 3 167。 簡(jiǎn)單情形解的存在唯一 性 ............................. 5 167。 插值余項(xiàng) ............................................ 5 167。 Hermite插值其他情形 ................................ .......5 第二章 Hermite插值的 Matlab實(shí)現(xiàn) .....................................9 167。 導(dǎo)數(shù)完全情形 Hermite插值的 Matlab實(shí)現(xiàn) ................... ..9 167。 Hermite插值的 Matlab實(shí)現(xiàn) ....................10 167。 Hermite 插值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 ............................13 參考文獻(xiàn) .......................................................... 15 附錄 A......................................................... 16 附錄 B......................................................... 17 附錄 C......................................................... 19 1 引言 在實(shí)際工作中 , 人們得到的一些數(shù)據(jù)通常是一些不連續(xù)的點(diǎn) , 在土木工程、流體力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)等學(xué)科中經(jīng)常要遇到這樣的問(wèn)題 . 此時(shí) , 這些數(shù)據(jù)如果不加以處理 , 就難以發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律性 . 如果用戶想得到這些分散點(diǎn)外的其他數(shù)值 , 就必須運(yùn)用這些已知的點(diǎn)進(jìn)行插值 .因此， 對(duì)近似公式的構(gòu)造產(chǎn)生了插值問(wèn)題 . 在實(shí)際問(wèn)題中，兩個(gè)變量的關(guān)系 )(xfy? 經(jīng)常要靠實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)獲得，而在通常的情況下只能得到 )(xf 在有限個(gè)點(diǎn)上的值 .,1,0),( nixfy i ??? 人們希望找到 )(xf 的一個(gè)近似函數(shù) )(xy ?? ，使得 ii yx ?)(? ， .,1,0 ni ?? ○ 1 此時(shí)， )(xf 稱為被插值函數(shù)，點(diǎn) ni xxx ,0 ? 稱為插值結(jié)點(diǎn)， )(x? 稱為插值函數(shù)，○ 1 為插值條件 . 常用的插值法有 Lagrange插值、 Newton插值、最近鄰插值、 Hermite 插值和三次樣條插值插值法等 . Lagrange插值在向 量 X 區(qū)域內(nèi)的插值較準(zhǔn)確 , 但向量 X區(qū)域之外則不太準(zhǔn)確 .Newton插值僅適用于等距節(jié)點(diǎn)下的牛頓向前 (后 ) 插值 . 最近鄰插值是最簡(jiǎn)便的插值 , 在這種算法中 , 每一個(gè)插值輸出像素的值就是在輸入圖像中與其最臨近的采樣點(diǎn)的值 , 當(dāng)圖像中包含像素之間灰度級(jí)變化的細(xì)微結(jié)構(gòu)時(shí) , 最近鄰插值法會(huì)在圖像中產(chǎn)生人工的痕跡 . 最近鄰插值的特點(diǎn)是簡(jiǎn)單、快速 , 缺點(diǎn)是誤差較大 。 三次樣條插值一階和二階連續(xù)可導(dǎo) , 插值曲線光滑 , 插值效果比較好 , 應(yīng)用較廣 Newton 插值和 Lagrange 插值雖然構(gòu)造比較簡(jiǎn)單 , 但都存在插值曲 線在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)、不光滑、插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處不可導(dǎo)等缺點(diǎn) . 為了保證插值多項(xiàng)式 )(xpn 能更好地逼近 )(xf , 對(duì) )(xpn 增加一些約束條件 , 例如要求 )(xpn 在某些結(jié)點(diǎn)處與 )(xf 的微商相等 , 這樣就產(chǎn)生了切觸插值問(wèn)題 .切觸插值即為 Hermite 插值 .它與被插函數(shù)一般有更高的密合度 . 本課程設(shè)計(jì)主要對(duì) Hermite 插值 法進(jìn)行總結(jié)，對(duì)其一般情況，特殊情況進(jìn)行更進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，盡量實(shí)現(xiàn)其在 Matlab 及 C++上的程序運(yùn)行 . 2 第一章 Hermite插值 實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用較廣為 Newton 插值和 Lagrange 插值，雖然這輛種插值法構(gòu)造比較簡(jiǎn)單 , 但都存在插值曲線在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)、不光滑、插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處不可導(dǎo)等缺點(diǎn) .為了克這些缺點(diǎn)，我們引入了 Hermite插值 . 167。 Hermite插值的概念 定義 許多實(shí)際插值問(wèn)題中，為使插值函數(shù)能更好地和原來(lái)的函數(shù)重合，不但要求二者在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要 求相切，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也
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