【正文】 哈爾濱師范大學(xué)鄭德楊官方網(wǎng)站 (方案設(shè)計(jì)型專(zhuān)題 ) （一）方程、函數(shù)型設(shè)計(jì)題 例 1．（ 07 茂名市）已知甲、乙兩輛汽車(chē) 同時(shí) ． ． 、 同方． ． 向從 同一地點(diǎn) ． ． ． ． A 出發(fā)行駛． （ 1）若甲車(chē)的速度是乙車(chē)的 2 倍，甲車(chē)走了 90 千米后立即返回與乙車(chē)相遇，相遇時(shí)乙車(chē)走了 1 小時(shí)．求甲、乙兩車(chē)的速度； （ 2）假設(shè)甲、乙每輛車(chē)最多只能帶 200 升汽油，每升汽油可以行駛 10 千米，途中不能再加油，但兩車(chē)可以互相借用對(duì)方的油，若兩車(chē)都必須沿原路返回到出發(fā)點(diǎn) A，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案使甲車(chē)盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn) A，并求出甲車(chē)一共行駛了多少千米？ 解：（ 1）設(shè)甲，乙兩車(chē)速度分別是 x 千米 /時(shí)和 y 千米 /時(shí)， 根據(jù)題意得： 21 1 90 2xyxy??? ? ? ?? ． 解之得： 12060xy??? ??． 即甲、乙兩車(chē)速度分別是 120 千米 /時(shí)、 60 千米 /時(shí)． （ 2） 方案一 ：設(shè)甲汽車(chē)盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn) A 行駛了 x 千米， 乙汽車(chē)行駛了 y 千米，則 2 0 0 1 0 22 0 0 1 0xyxy? ? ??? ??? ≤≤ ． ∴ 2 200 10 3x ??≤ 即 3000x≤ ． 即甲、乙一起行駛到離 A 點(diǎn) 500 千米處，然后甲向乙借油 50 升，乙不再前進(jìn)，甲再前進(jìn) 1000千米返回到乙停止處，再向乙借油 50 升，最后一同返回到 A點(diǎn)，此時(shí)，甲車(chē)行駛了共 3000千米． 方案二 ：（畫(huà)圖法） 如圖 此時(shí)，甲車(chē)行駛了 5 0 0 2 1 0 0 0 2 3 0 0 0? ? ? ?（千米） ． 方案三 ：先把乙車(chē)的油均分 4 份，每份 50 升．當(dāng)甲乙一同前往，用了 50 升時(shí)，甲向乙借油50 升，乙停止不動(dòng)，甲繼續(xù)前行，當(dāng)用了 100 升油后返回，到乙停處又用了 100 升油，此時(shí)甲沒(méi)有油了，再向乙借油 50 升，一同返回到 A 點(diǎn)． 此時(shí)，甲車(chē)行駛了 5 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 3 0 0 0? ? ? ? ? ?（千米）． 例 2．（ 07 鄂爾多斯） 有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如圖 15 所示；乙公司每月通話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表 3 所示． 表 3 （ 1）觀察圖 15，甲公司用戶月通話時(shí)間不超過(guò) 100分鐘時(shí)應(yīng)付話費(fèi)金額是 __________元；月租費(fèi) 通話費(fèi) 元 元 /分鐘 甲行 500 千米 乙行 500 千米 甲再借油 50 升返回 甲借油 50 升，甲行 1000 千米 圖 15 ()t分 ()y元 O 100 200 20 40 哈爾濱師范大學(xué)鄭德楊官方網(wǎng)站 甲公司用戶通話 100 分鐘以后，每分鐘的通話費(fèi)為 _________元； （ 2）李女士買(mǎi)了一部手機(jī)，如果她的月通話時(shí)間不超過(guò) 100 分鐘，她選擇哪家通迅公司更合算？如果她的月通話時(shí)間超過(guò) 100 分鐘，又將如何選擇？ 解： （ 1） 20 ； （ 2）通話時(shí)間不超過(guò) 100 分鐘選甲公司合算 設(shè)通話時(shí)間為 t 分鐘（ 100t? ），甲公司用戶通話費(fèi)為 1y 元，乙公司用戶通話費(fèi)為 2y 元． 則： 1 20 ( 100) t t? ? ? ? 2 25 ?? 當(dāng) 12yy? 即： 25 ?? 時(shí)， 500t? 當(dāng) 12yy? 即： 25 ?? 時(shí)， 500t? 當(dāng) 12yy? 即： 25 ?? 時(shí)， 500t? 答：通話時(shí)間不超過(guò) 500 分鐘選甲公司； 500分鐘選甲、乙公司均可；超過(guò) 500 分鐘選乙公司． 例 3．（ 04 河北?。┕馊A農(nóng)機(jī)租賃公司共有 50 臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型 20 臺(tái)，乙型 30 臺(tái) .現(xiàn)將這 50 臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往 A、 B 兩地區(qū)收割小麥，其中 30 臺(tái)派往 A 地區(qū)， 20 臺(tái)派往 B地區(qū)． 兩地區(qū)與該農(nóng)機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見(jiàn)下表： 每臺(tái)甲型收割機(jī)的租金 每臺(tái)乙型收割機(jī)的租金 A 地區(qū) 1800 元 1600 元 B 地區(qū) 1600 元 1200 元 （ 1）設(shè)派往 A 地區(qū) x 臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這 50 臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金為 y(元 )，求 y 與 x 間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出 x 的取值范圍； （ 2）若使 農(nóng)機(jī)租賃公司這 50 臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于 79600 元，說(shuō) 明有多少種分派方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來(lái)； （ 3）如果要使這 50 臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請(qǐng)你為光華農(nóng)機(jī)租賃公司提 出一條合理建議． 解：（ 1）若派往 A 地區(qū)的乙型收割機(jī)為 x 臺(tái)，則派往 A 地區(qū)的甲型收割機(jī)為 (30－ x)臺(tái)；派往 B 地區(qū)的乙型收割機(jī)為（ 30－ x）臺(tái)，派往 B地區(qū)的甲型收割機(jī)為（ x－ 10）臺(tái)． ∴ y＝ 1600x＋ 1800(30－ x)＋ 1200(30－ x)＋ 1600(x－ 10)＝ 200x＋ 74000． x 的取值范圍是： 10≤ x≤ 30(x 是正整數(shù) )． （ 2）由題意得 200x＋ 74000≥ 79600， 解不等式得 x≥ 10≤ x≤ 30，∴ x 取 28， 29， 30 這三個(gè)值， ∴有 3 種不同分配方案． ① 當(dāng) x＝ 28時(shí)，即派往 A 地區(qū)甲型收割機(jī) 2 臺(tái)，乙型收割機(jī) 28臺(tái)；派往 B 地區(qū)甲型收割機(jī) 18 臺(tái)，乙型收割機(jī) 2 臺(tái)． ② 當(dāng) x＝ 29時(shí)，即派往 A 地區(qū)甲型收割機(jī) 1 臺(tái)，乙型收割機(jī) 29臺(tái)；派往 B 哈爾濱師范大學(xué)鄭德楊官方網(wǎng)站 地區(qū)甲型收割機(jī) 19 臺(tái)，乙型收割機(jī) 1 臺(tái)． ③ 當(dāng) x＝ 30時(shí)，即 30 臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往 A地區(qū)； 20臺(tái)甲型收割機(jī)全部派往 B 地區(qū)． （ 3）由于一次函數(shù) y＝ 200x＋ 74000 的值 y 是隨著 x 的增大而增大的，所以，當(dāng) x＝ 30 時(shí)， y 取得最大值 .如果要使農(nóng)機(jī)租賃公司這 50 臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得租金最高，只需 x＝ 30，此時(shí)， y＝ 6000＋ 74000＝ 80000． 建議農(nóng)機(jī)租賃公司將 30臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往 A地區(qū)； 20臺(tái)甲型收割要全部派往 B 地區(qū)，可使公司獲得的租金最高． （二）統(tǒng)計(jì)型設(shè)計(jì)題 例 4．（ 07 江西?。┠硨W(xué)校舉行演講比賽，選 出了 10 名同學(xué)擔(dān)任評(píng)委，并事先擬定從如下4 個(gè)方案中選擇合理的方案來(lái)確定每個(gè)演講者的最后得分（滿分為 10 分）： 方案 1 所有評(píng)委所給分的平均數(shù)． 方案 2 在所有評(píng)委所給分中，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，然后再計(jì)算其余給分的平均數(shù)． 方案 3 所有評(píng)委所給分的中位數(shù)． 方案 4 所有評(píng)委所給分的眾數(shù)． 為了探究上述方案的合理性，先對(duì)某個(gè)同學(xué)的演講成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)．下面是這個(gè)同學(xué)的得分統(tǒng)計(jì)圖： （ 1）分別按上述 4 個(gè)方案計(jì)算這個(gè)同學(xué)演講的最后得分； （ 2）根據(jù)（ 1）中的結(jié)果，請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)說(shuō)明哪些方案不 適合作為這個(gè)同學(xué)演講的最后得分． 解：（ 1）方案 1 最后得分： 1 ( 3 . 2 7 . 0 7 . 8 3 8 3 8 . 4 9 . 8 ) 7 . 710 ? ? ? ? ? ? ? ?； 方案 2 最后得分： 1 ( 7 .0 7 .8 3 8 3 8 .4 ) 88 ? ? ? ? ? ?； 方案 3 最后得分： 8 ； 方案 4 最后得分： 8 或 ． （ 2）因?yàn)榉桨?1 中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響，不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水平”， 所以方案 1 不適合作為最后得分的方案． 因?yàn)榉桨?4 中的眾數(shù)有兩個(gè)，眾數(shù)失去了實(shí)際意義，所以方案 4 不適合作為最后得分的方案． 例 5．（廈門(mén)）某中學(xué)要召開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，決定從初三年級(jí)全部的 150 名的女生中選 30 人，組成一個(gè)彩旗方隊(duì)（要求參加方隊(duì)的同學(xué)的身高盡可能接近） ．現(xiàn)在抽測(cè)了 10 名女生的身高，結(jié)果如下（單位：厘米）： 166 154 151 167 162 158 158 160 162 162 （ 1）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，初三年級(jí)全體女生的平均身高約是多少厘米？ 8 1 2 3 分?jǐn)?shù) 人數(shù) 哈爾濱師范大學(xué)鄭德楊官方網(wǎng)站 （ 2）這 10 名女生的身高的中位數(shù)、眾數(shù)各是多少？ （ 3）請(qǐng)你依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)一個(gè)挑選參加方隊(duì)的女生的方案．（請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明） 解：（ 1）因?yàn)椋?166＋ 154＋ 151＋ 167＋ 162＋ 158＋ 158＋ 160＋ 162＋ 162）247。 10＝ 160（厘米），所以九年 級(jí)全體女生的平均身高約是 160 厘米． （ 2）這 10 名女生的身高的中位數(shù)是 161 厘米，眾數(shù)是 162 厘米． （ 3）先將九年級(jí)中身高為 162 厘米的所有女生挑選出來(lái)作為參加旗隊(duì)的女生，如此進(jìn)行下去，直至挑選到 30 人為止． （三）測(cè)量設(shè)計(jì)題 例 6．（ 07 潛江等）經(jīng)過(guò)江漢平原的滬蓉 (上海 — 成都 )高速鐵路即將動(dòng)工 .工程需要測(cè)量漢江某一段的寬度 .如圖①，一測(cè)量員在江岸邊的 A 處測(cè)得對(duì)岸岸邊的一根標(biāo)桿 B 在它的正北方向，測(cè)量員從 A 點(diǎn)開(kāi)始沿岸邊向正東方向前進(jìn) 100 米到達(dá)點(diǎn) C 處，測(cè)得 ?68??ACB ． （ 1）求所測(cè)之處江的寬度（ . a n, o s, i n ??? ??? ）； （ 2）除（ 1）的測(cè)量方案外，請(qǐng)你再設(shè)計(jì)一種測(cè)量江寬的方案，并在圖②中畫(huà)出圖形． 解： （ 1）在 BACRt? 中， ?68??ACB ， ∴ a n ????? ?ACAB （米） 答：所測(cè)之處江的寬度約為 248 米 （ 2）從所畫(huà)出的圖形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知識(shí) 來(lái)解決問(wèn)題的，只要正確即可得分． 例 7．（ 07 樂(lè)山）如圖（ 14），小山上有一棵樹(shù)．現(xiàn)有測(cè)角儀和皮尺兩種測(cè)量工具，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案，在山腳水平地面上測(cè)出小樹(shù)頂端 A 到水平地面的距離 AB ． 要求： （ 1）畫(huà)出測(cè)量示意圖； （ 2）寫(xiě)出測(cè)量步驟（測(cè)量數(shù)據(jù)用 字母表示）； （ 3）根據(jù)（ 2）中的數(shù)據(jù)計(jì)算 AB ． A C B 圖 ① 圖 ② A B 圖（ 14） 哈爾濱師范大學(xué)鄭德楊官方網(wǎng)站 解：（ 1）測(cè)量圖案（示意圖）如圖示 （ 2）測(cè)量步驟： 第一步：在地面上選擇點(diǎn) C 安裝測(cè)角儀， 測(cè)得此時(shí)樹(shù)尖 A 的仰角 AHE ??∠ ， 第二步：沿 CB 前進(jìn)到點(diǎn) D ，用皮尺量 出 CD， 之間的距離 CD m? ， 第三步：在點(diǎn) D 安裝測(cè)角儀，測(cè)得此 時(shí)樹(shù)尖 A 的仰角 AFE ??∠ ， 第四步：用皮尺測(cè)出測(cè)角儀的高 h （ 3）計(jì)算： 令 AE x? ，則 tan xHE?? ，得 tanxHE ?? ， 又 tan xEF?? ，得tanxEF ??， H E F E H F C D m? ? ? ?， ta n ta nxx m??? ? ?， 解得 tan tantan tanmx ????? ?， tan tantan tanmA B h????? ? ??． 例 8（ 07 資陽(yáng)） 一 座 建于 若干 年 前 的水庫(kù)大壩的橫斷面 如圖 7 所示 ，其中背水面的整個(gè)坡面是長(zhǎng)為 90 米、寬為 5 米的矩形 . 現(xiàn) 需將其整修 并進(jìn)行美化 ，方案如下： ① 將背水 坡 AB 的坡 度 由 1∶ 改為 1∶ 3 ； ② 用一組與背水坡面長(zhǎng)邊垂直的平行線將背水坡面 分成 9 塊相同的矩形區(qū)域 ， 依次 相間 地 種草與栽花 ． ⑴ 求整修后 背水坡 面的 面積 ； ⑵ 如果 栽花 的成本是 每平方米 25 元，種草 的成本是 每平方米 20 元， 那么種植花草至少需要多少元？ 解： ⑴ 作 AE⊥ BC 于 E． ∵ 原來(lái)的坡 度 是 1∶ ， ∴ = ＝ 43 ． 設(shè) AE＝ 4k， BE＝ 3k， ∴ AB＝ 5k， 又 ∵ AB＝ 5 米 ， ∴ k＝ 1，則 AE＝ 4 米 ． 設(shè)整修后的 斜 坡為 AB162。 ， 由整修后 坡 度 為 1∶ 3 ， 有 13AEEB=162。 ， ∴∠ ABE1